Funciones matemáticas - Función parábola

Definición:

 

Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Su fórmula es:

¦: Â ® Â / ¦ (x) = ax²+ bx + c , con a ¹ 0

y su representación gráfica es una curva que recibe el nombre de parábola.

Los elementos de dicha función son:

a coeficiente principal

b coeficiente lineal

c término independiente

Análisis de la fórmula y = ax² + bx + c

 

Los elementos de la gráfica de la función ( eje, ceros, vértice, ordenada al origen y concavidad) se obtienen  a partir de la fórmula,  de la siguiente manera:

Eje: es una recta perpendicular al eje de abscisas (x) que responde a la siguiente expresión:

X = -b / 2a

La parábola es simétrica respecto de su eje y el vértice de la misma se encuentra "sobre" él .

Ceros: son los puntos de la gráfica donde la misma intercepta al eje de abscisas. Una parábola puede tener a lo sumo dos ceros distintos. Si el discriminante b² - 4ac es mayor que cero, la parábola tiene dos ceros; si es igual a cero, tiene uno y si es menor que cero, no tiene.

La fórmula para determinarlos es

x = [ -b ± ( b² - 4ac)½ ] / 2a

En el caso  que tenga dos ceros se dice que la función tiene dos raíces reales distintas, si tiene uno se dice que tiene dos raíces reales iguales y si no tiene ninguno se dice que no tiene raíces reales.

Vértice: es el punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. Se verifica también que es el único punto unido de la parábola pues el simétrico de sí es él mismo.

Sus coordenadas son:

y=[-b/2a ; ¦ ( -b/2a)]

Ordenada al origen: como en las demás gráficas, es el punto donde la misma intercepta al eje de ordenadas (y). Su coordenada es:

ord = ( 0 ; c)

 

Concavidad: la determina el coeficiente principal (a). Si a>0 entonces la parábola es cóncava hacia el semieje positivo de las ordenadas (y) ; si a<0 entonces es cóncava hacia el semieje negativo de las ordenadas.

Clasificación:

La función potencial no es inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Las imágenes de elementos distintos  pero simétricos respecto del eje , son iguales;

2. El conjunto Imagen de una parábola es ( -¥ ; yv] si    a < 0 o [yv; +¥ ) si a > 0 y su Codominio es el conjunto de los números reales, por lo tanto existen elementos de él que no tienen preimágen.

Si a > 0, es estrictamente decreciente de ( -¥ ; xv) y estrictamente creciente de (xv; +¥ ). Si a < 0, es estrictamente creciente de (-¥; xv) y estrictamente decreciente de (xv; +¥).

La función potencial no es ni impar excepto cuando b es igual a cero. En este último caso la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. Por lo tanto   ¦(x) =  ¦(-x).