Definición:
Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Su fórmula es:
¦: Â ® Â / ¦ (x) = ax²+ bx + c , con a ¹ 0
y su representación gráfica es una curva que recibe el nombre de parábola.
Los elementos de dicha función son:
a coeficiente principal
b coeficiente lineal
c término independiente
Análisis de la fórmula y = ax² + bx + c
Los elementos de la gráfica de la función ( eje, ceros, vértice, ordenada al origen y concavidad) se obtienen a partir de la fórmula, de la siguiente manera:
Eje: es una recta perpendicular al eje de abscisas (x) que responde a la siguiente expresión:
X = -b / 2a
La parábola es simétrica respecto de su eje y el vértice de la misma se encuentra "sobre" él .
Ceros: son los puntos de la gráfica donde la misma intercepta al eje de abscisas. Una parábola puede tener a lo sumo dos ceros distintos. Si el discriminante b² - 4ac es mayor que cero, la parábola tiene dos ceros; si es igual a cero, tiene uno y si es menor que cero, no tiene.
La fórmula para determinarlos es
x = [ -b ± ( b² - 4ac)½ ] / 2a
En el caso que tenga dos ceros se dice que la función tiene dos raíces reales distintas, si tiene uno se dice que tiene dos raíces reales iguales y si no tiene ninguno se dice que no tiene raíces reales.
Vértice: es el punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. Se verifica también que es el único punto unido de la parábola pues el simétrico de sí es él mismo.
Sus coordenadas son:
y=[-b/2a ; ¦ ( -b/2a)]
Ordenada al origen: como en las demás gráficas, es el punto donde la misma intercepta al eje de ordenadas (y). Su coordenada es:
ord = ( 0 ; c)
Concavidad: la determina el coeficiente principal (a). Si a>0 entonces la parábola es cóncava hacia el semieje positivo de las ordenadas (y) ; si a<0 entonces es cóncava hacia el semieje negativo de las ordenadas.
Clasificación:
La función potencial no es inyectiva ni sobreyectiva porque:
1. Las imágenes de elementos distintos pero simétricos respecto del eje , son iguales;
2. El conjunto Imagen de una parábola es ( -¥ ; yv] si a < 0 o [yv; +¥ ) si a > 0 y su Codominio es el conjunto de los números reales, por lo tanto existen elementos de él que no tienen preimágen.
Si a > 0, es estrictamente decreciente de ( -¥ ; xv) y estrictamente creciente de (xv; +¥ ). Si a < 0, es estrictamente creciente de (-¥; xv) y estrictamente decreciente de (xv; +¥).
La función potencial no es ni impar excepto cuando b es igual a cero. En este último caso la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. Por lo tanto ¦(x) = ¦(-x).
