Definición:
Dada una relación ¦ definida del conjunto A en el B, se dice que dicha relación es una función si y solo si se verifican las siguientes propiedades:
1. Existencia: Todo elemento del conjunto A está relacionado con uno del conjunto B, en símbolos:
" x Î A $ y Î B / x ¦ y
2. Unicidad: Toda relación entre un elemento del conjunto A y otro del B es única, en símbolos:
(x,y) Î ¦ Ù (x,z) Î ¦ Þ y=z
Dominio, Codominio e Imagen:
Dada una función ¦: A ® B / y = ¦(x) se llama dominio de la misma al conjunto A y codominio al conjunto B .
Si y = ¦(x), se dice que y es la imagen de x a través de ¦ y que x es la preimágen de y a través de ¦.
El conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio de la función que verifica que todos sus elementos tienen preimágen.
Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva:
Sea una función ¦ : A ® B / y =¦(x) se dice que es inyectiva si se verifica que :
" x Î Dom ¦ : si x1¹ x2 Þ ¦(x1) ¹ ¦ (x2)
Sea una función ¦ : A ® B / y = ¦ (x) se dice que es sobreyectiva si :
" y Î Codom ¦ , $ x Î Dom ¦ / y = ¦ (x)
Si una función ¦ : A ®B / y = ¦ (x) es inyectiva y sobreyectiva entonces es biyectiva.
Funciones Monótonas:
Función creciente: dada una función ¦ :A ® B / y = ¦(x) se dice que es creciente si para dos elementos cualesquiera del dominio tal que uno es menor que el otro se verifica que la imagen del menor es menor o igual a la imagen del mayor, en símbolos:
" x1 x2 Î Dom ¦ , si x1< x2 Þ ¦ (x1) £ ¦ (x2)
Función estrictamente creciente: sea ¦ : A ® B / y = ¦ (x) se dice que es estrictamente creciente si para dos elementos cualesquiera del dominio, tal que uno es menor que el otro, se verifica que la imagen del menor es menor que la imagen del mayor, en símbolos:
" x1 x2 Î Dom ¦ , si x1< x2 Þ ¦ (x1) < ¦ (x2)
Función decreciente: dada una función ¦ : A ® B / y = ¦ (x) se dice que la función es decreciente si para dos elementos cualesquiera del dominio tal que uno sea menor que otro se verifica que la imagen del menor es mayor o igual que la imagen del mayor, en símbolos:
" x1 , x2 Î Dom ¦ , si x1< x2 Þ ¦ (x1) ³ ¦ (x2)
Función estrictamente decreciente:sea ¦ : A ® B / y=¦ (x) se dice que la función es estrictamente decreciente si para dos elementos cualesquiera del dominio tal que uno es menor que el otro se verifica que la imagen del menor es mayor que la imagen del mayor, en símbolos:
" x1 , x2Î Dom ¦ , si x1< x2 Þ ¦ (x1) > ¦ (x2)
Función Par e Impar: Dada una función f: A ® B / y = ¦ (x) se dice que es par si la imagen de los elementos opuestos tienen sus imágenes iguales, en símbolos:
" x Î Dom ¦ : ¦ (x) = ¦ (-x);
se dice que la función es impar si las imágenes de elementos opuesto son opuestas, en símbolos:
" x Î Dom ¦ : ¦ (x) = ¦ (-x)
