Históricamente, las matemáticas surgieron con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
El estudio de la estructura comienza con los
números∞, inicialmente los
números naturales∞ y los
números enteros∞.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el
álgebra elemental∞, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la
teoría de números∞. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del
álgebra abstracta∞. El importante concepto de
vector∞, generalizado a
espacio vectorial∞, es estudiado en el
álgebra lineal∞, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la
geometría∞, primero la
geometría euclídea∞ y luego la
trigonometría∞.
La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las
ciencias naturales∞, y el
cálculo∞. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las
ecuaciones diferenciales∞.
Los números usados para representar las cantidades continuas son los
números reales∞. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de
función matemática∞. Los conceptos de
derivada∞ e
integral∞, introducidos por
Newton∞ y
Leibniz∞, juegan un papel clave en este estudio, que se denomina
análisis∞.
Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al
análisis complejo∞.
El
análisis funcional∞ consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.
Un campo importante en matemáticas aplicadas es la
probabilidad∞ y la
estadística∞, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen
variables aleatorias∞ y que se usan en todas las ciencias.
El
análisis numérico∞ investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.
Crisis históricas de las matemáticas
Las matemáticas han pasado por tres crisis históricas importantes:
1. El descubrimiento de la
inconmensurabilidad∞ por los
griegos∞, la existencia de los
números irracionales∞ que de alguna forma debilitó la filosofía de los
pitagóricos∞.
2. Aparición del
cálculo∞ en el
siglo XVII∞, con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
3. La tercera fue el hallazgo de las
antinomias∞, como la de Russell o la
paradoja de Berry∞ a comienzos del
siglo XX∞, que atacaban los mismos cimientos de la materia