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Approximación y Proyección en el Espacio de Hilbert - Calculando α

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Creative Commons Artículo de Justin Romberg, Fara Meza, Erika Jackson - 13 de Diciembre de 2006
Temas Relacionados: Matemáticas
2. Calculando α
¿Cómo calcular α?
Sabemos que ( x−αv) es perpendicular para todo vector en en espacio generado {v}, así que <x−αv,βv>=0  ,  ∀β   β*<x,v>−αβ*<v,v>=0 por que <v,v>=1, por lo tanto <x,v>−α=0⇒α=<x,v> El vector más cercano en el espacio generado{v} = <x,v>v, donde <x,v>v es la proyección de x sobre v.
¿Punto a un plano?
 
Problem 1
Sea V⊂H un subespacio de un espacio de Hilbert H. Sea x∈H dado. Encontrar y∈V que mejor se aproxime x. es decir, ∥x−y∥ esta minimizada.
[ Click for Solution 1 ]
Solution 1
  1. Encontrar una base ortonormal {b1,…,bk} para V
  2. Proyectar x sobre V usando y=
    k
    ∑
    i=1
    (<x,bi>bi)     después y es el punto más cercano en V a x y (x-y) ⊥ V ( <x−y,v>=0  ,  ∀v∈V  
[ Hide Solution 1 ]
Example 1 
x∈&#x211D;3, V=espacio generado
æ
ç
è
ì
í
î
æ
ç
è
1
0
0
ö
÷
ø
 ,
æ
ç
è
0
1
0
ö
÷
ø
ü
ý
þ
ö
÷
ø
 , x=
æ
ç
è
a
b
c
ö
÷
ø
 . Por lo tanto, y=
2
∑
i=1
(<x,bi>bi) =a
æ
ç
è
1
0
0
ö
÷
ø
 +b
æ
ç
è
0
1
0
ö
÷
ø
 =
æ
ç
è
a
b
0
ö
÷
ø
Example 2 
V = {espacio de las señales periódicas con frecuancia no mayor que 3w0}. Dada f(t) periódica, ¿Cúal es la señal en V que mejor se aproxima a f?
  1. {
    1
    \T
    ⅇjw0kt    , k = -3, -2, ..., 2, 3} es una ONB para V
  2. g(t) =
    1
    T
    3
    ∑
    k=-3
    (<f(t) ,ⅇjw0kt>ⅇjw0kt)     es la señal más cercana en V para f(t) ⇒ reconstruya f(t) usando solamente 7 términos de su serie de Fourier .
Example 3 
Sea V = { funciones constante por trozos entre los números enteros}
  1. ONB para V.
bi=
ì
í
î
1ifi−1≤t&lt;i
0otherwise
donde {bi} es una ONB.
¿La mejor aproximación constante por trozos? g(t) =
∞
∑
i=−∞
(<f,bi>bi) <f,bi>=∫−∞∞f(t) bi(t) dt=∫i−1if(t) dt
Example 4 
Esta demostración explora la aproximación usando una base de Fourier y una base de las ondoletas de Haar. Véase aqui para las instrucciones de como usar el demo.
LabVIEW Example: (run) (source)
Tabla de contenidos
Autor y licencia de 'Approximación y Proyección en el Espacio de Hilbert - Calculando α'
Justin Romberg, Fara Meza, Erika Jackson Extraído de: http://cnx.org/content/m12935/latest/

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