Convolución de Tiempo-Continuo - Proceso I: El método corto
13 de Diciembre de 2006
Matemáticas
Este proceso sigue de cerca el mencionado en la sección anterior en la Motivación. Para iniciar esto, es necesario establecer las asunciones que haremos. En este momento, la única obligada en nuestro sistema es que este sea lineal e invariante en el tiempo.
- Breve descripción de los pasos de este Proceso:
- Un impulso de entrada, nos da como salida una respuesta al impulso.
- Un impulso desplazado nos da como salida una respuesta al impulso desplazada. Esto es debido a la invariante en el tiempo del sistema
- Podemos escalar el impulso de entrada para obtener como salida un impulso escaldo. Esto es usando la propiedad de linealidad de la multiplicación escalar.
- Podemos sumar un número infinito de estos impulsos escalados para obtener un número infinito de sumas de respuestas al impulso escaladas. Esto es usando la cualidad de la aditividad de linealidad.
- Ahora vemos que esta suma infinita no es mas que una integral, así que podemos convertir ambos lados en integrales.
- Reconociendo que la entrada es la función f(t) , también reconocemos que la salida es exactamente la integral de convolución .
 Figure 1: Empezamos con un sistema definido por su respuesta al impulso, h(t)
. |
 Figure 2: Después consideramos una versión desplazada del impulso de entrada. Debido al tiempo invariante del sistema, obtenemos una versión de una salida desplazada de la respuesta al impulso. |
 Figure 3: Ahora usamos la parte de escalado de linealidad, escalando el sistemas por un valor, f(τ)
, que es constante con respecto al sistema variable, t. |
 Figure 4: Ahora podemos usar el aspecto de aditividad de linealidad para sumar un número infinito de estos, para cada posible τ. Como una suma infinita es exactamente una integral, terminamos con la integral conocida como integral de convolución. Usando la propiedad de desplazamiento, podemos reconocer el lado izquierdo como la entrada f(t)
. |
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