El Fenómeno de Gibbs - Las series de Fourier
Artículo creado por Ricardo Radaelli-Sanchez, Richard Baraniuk, Erika Jackson, Fara Meza. Extraido de: http://cnx.org/content/m12929/latest/
16 de Diciembre de 2006
Matemáticas
1 - Las series de Fourier
Las series de Fourier son la representación de las señales periódicas continuas en el tiempo dado en términos de exponenciales complejos. Las condiciones de Dirichlet sugieren que las señales discontinuas pueden tener representación de serie de fourier siempre y cuando tengan un número finito de discontinuidades. Esto parece decir lo contrario de lo que hemos explicado, ya que los exponenciales complejos son funciones continuas. No parece que sea posible el poder reconstruir exactamente una función discontinua de un conjunto de funciones continuas. De hecho, no se puede. Sin embargo, podemos relajar la condición de ‘exactamente’ y remplazarla con la idea de “casi en todos lados”. Esto es para decir que la reconstrucción es exactamente la misma de la señal origina excepto en un numero de puntos finitas. Estos puntos ocurren en las discontinuidades.
Historia
En los 1800s, muchas maquinas fueron construidas para calcular los coeficientes de Fourier y re-sintetizar:
fN′(t)
=
(cnⅇⅈω0nt)
(1)
Albert Michelson (un físico experimental extraordinario) construyo una maquina en 1898 que podía calcular cnhasta n=±79, y re-sintetizo
| N |
| ∑ |
| n=−N |
f79′(t)
=
(cnⅇⅈω0nt)
(2)
La maquina funciono muy bien en todos los exámenes excepto en esos que tenían funciones descontinúas. Cuando una función cuadrada como la mostrada en figure 1,fue dada a la maquina aparecieron “garabatos” alrededor de las discontinuidades, aunque el numero de los coeficientes de fourier llegaron a ser casi infinitos, los garabatos nunca desaparecieron- esto se puede observar en las figure 1. J. Willard Gibbs fue el primero en explicar este fenómeno en 1899, por eso estos puntos son conocidos como el Fenómeno de Gibbs. | 79 |
| ∑ |
| n=-79 |
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