Curso de criptografía básica para principiantes - Vocabulario matematico usado frecuentemente en criptografía

Aritmética modular: son las operaciones de suma o producto que se llevan a cabo sobre los números enteros módulo algún entero n. Es decir el resultado de una suma o un producto es el residuo de la división entre n.

Campo de característica 2 (F2ⁿ): este tipo de campos son conjuntos de n-adas (conjuntos de ceros y uno de longitud n) a los que se les define operaciones de suma y multiplicación y tienen también las propiedades de lo números Racionales o Reales. Este tipo de campos son usados también en criptografía principalmente porque es fácil fabricar un chip (circuito) que efectúa eficientemente las operaciones de suma y producto.

Campo numérico real: es un conjunto del tipo a+(d^1/2) b, donde a,b son números reales y que tienen propiedades que permiten ser usados en criptografía. También existen sistemas comerciales que lo usan.

Campo primo (Zp): cuando en Zn, n es número primo n=p, entonces todos los elementos tienes inverso multiplicativo. Esto es tanto la suma como el producto cumplen las mismas propiedades que los números Racionales o los números Reales. En criptografía es ampliamente usado este tipo de campos.

Curva anómala: es una curva elíptica que tiene tantos puntos racionales como elementos tiene el campo finito (en uso), para este tipo de curvas existe un método que calcular logaritmos discretos, por que se recomienda evitarlas.

Curva elíptica: una curva elíptica en el caso de la criptografia se considera como una ecuación de dos variables de grado 3, es decir la máxima potencia de las 2 variables debe ser 3. Por ejemplo y=x³+2x+3 es una curva elíptica. Además de no contener puntos malos en criptografía llamados singulares.

Curva hiperelíptica: es una curva que generaliza a una curva elíptica y que también han sido propuestas para ser usadas en criptografía.

Curva no supersingular: son curvas elípticas que son inmunes (en la práctica) al MOV además de ser muchas curvas y son las más recomendables para el uso en criptografía por los estándares actuales.

Curva supersingular: son curvas elípticas que por un lado tienen la propiedad de ser muy fácil calcular el número de puntos racionales pero por el otro existe un método llamado MOV (de Menezes, Okamoto, Vanstone) que permite calcular logaritmos discretos y así no son recomendables para su uso en criptografía.

Divisores: el papel de puntos racional de una curva elíptica lo toman los divisores.

Función de Carmichael (lamda ): esta función tiene como estrada un número entero y da como salida (para el caso n=pq) al mínimo común múltiplo de (p-1)(q-1). En el sistema RSA es usado para realizar el cifrado y descifrado más eficientemente, se asume esta función en el PKCS #1 v 2.

Función de Euler (phi, ): esta función tiene como entrada un número entero y da como resultado el número de primos relativos a n que son menores a n. Para el caso de RSA es usado phi(n) con n la clave pública, en este caso phi(n)=(p-1)(q-1)

Función exponencial modular: es la operación que se usa para cifrar u descifrar en varios sistemas criptográficos (RSA, RW, DH, DSA) y consiste en multiplicar modularmente muchas veces un mismo número.

Generador probabilístico de números primos: es un proceso que tiene como entrada un número entero y como salida un probable número primo con gran grado de aceptación. El método más aceptado para generar primos es el de Miller Rabin.

Inverso multiplicativo modular: dado un número su inverso multiplicativo es el número que al multiplicarlo el resultado será uno (1). Por ejemplo en Z3 el inverso multiplicativo de 2 es 2 ya que 2*2 = 4 mod 3= 1. En los números enteros módulo otro número entero, no todos los números tienen inverso multiplicativo. En criptografía la clave privada d (del sistema RSA) es precisamente el inverso multiplicativo de la parte de la clave pública e. O sea d = e^-1 mod n.

Método para resolver el Problema del Logaritmo Discreto Elíptico: actualmente el mejor algoritmo para calcular logaritmos discretos es el que se aplica a grupos en general llamado método de la raíz de Pollar.

Métodos de Factorización: es un método que tiene como entrada un número compuesto (no primo) y como salida uno de sus factores no triviales (diferentes a 1 y a el mismo). Actualmente el método más adecuado para factorizar números arbitrarios y que es usado para factorizar los números productos de dos primos es la criba de campos numéricos.

Métodos para calcular Logaritmos Discretos: hasta la fecha el método más adecuado para calcular logaritmos discretos es el método del Indice. Este método permite calcular logaritmos del mismo orden que las claves del sistema RSA, esto quiere decir que las claves de sistemas que usen logaritmos discretos deben de tener el mismo orden que las claves RSA.

Número de puntos racionales: en un sistema criptográfico con curvas elípticas es muy importante el número de puntos racionales (llamado el orden de la curva) ya que este número debe contener como factor a un número primo de al menos 163 bits para considerar que la curva sea segura en criptografía.

Número primo: es un número entero que no tiene divisores diferentes a 1 y así mismo, ejemplo 2,3,5,7,11, …

Números “Grandes”: se considera que un número es grande si tiene longitud al menos de 512 bits (155 dígitos), a causa de que los procesadores actuales manejan solo números de 32 bits, se tienen que diseñarse programas para poder efectuar las operaciones sobre este tipo de números.

Números de Fermat: los números de Fermat son de la forma (2^(2^n)+1), el número 1 de Fermat es (2^(2^1)+1)=5, el número 2 de Fermat es (2^(2^2)+1)=17, el siguiente es (2^(2^3)+1)=257, y el 4 es (2^(2^4)+1)=65537. Fermat había afirmado que todos estos números eran primos aunque esto no es cierto. El número 4 de Fermat se usa como exponente público (e) en el sistema RSA, como su representación hexadecimal es 01 00 01 es óptimo para ser usado como exponente.

Primo industrial: es un número primo generado probabilísticamente que tiene a lo más 1/(2^100) de probabilidad de error (de no ser número primo).

Problema de Factorización: es el problema inverso a la multiplicación, es decir el problema de encontrar los factores conocido el producto. En criptografía los números a factorizar son los productos de dos números primos de la misma longitud, el producto tiene al menos 768 bits. Actualmente se han podido factorizar números de hasta 512 bits (155 dígitos) producto de dos primos del mismo tamaño (256 bits).

Problema del Logaritmo Discreto Elíptico: en este caso el problema es encontrar cuantas veces hay que sumar un punto racional para obtener otro conocido. Dado P y Q encontrar x, tal que xP=Q.

Problema del Logaritmo Discreto Hiperelíptico: es el problema de encontrar un número de veces que hay que sumar un divisor dado D para obtener otro divisor D’.

Problema del Logaritmo Discreto: es el problema de encontrar el número de veces que hay que multiplicar un número conocido para obtener como resultado, otro también conocido, por ejemplo dado el 1024 y el 2, ¿cuántas veces hay que multiplicar el 2 para obtener 1024? La respuesta es 10 y se dice que 10 es el logaritmo de 1024 base 2.

Punto racional: es una pareja (x,y) de elementos de un campo que satisfacen la ecuación de una curva elíptica. El conjunto de puntos racionales de la curva elíptica y=x³+ax+b, se denota como E: y=x³+ax+b.

Retícula: es otro conjunto de elementos que han propuesto para ser usados en criptografía de hecho ya existen sistemas comerciales que las usan.

Teorema Chino del Residuo TCR: es un resultado que permite calcular la solución de ciertas ecuaciones modulares y es usado en el esquema de descifrado RSA que permite descifrar más rápidamente.