Lógica Matemática - Lógica de Proposiciones

La proposición se define como una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa. Cuando una proposición expresa una sola idea en su forma más simple, se dice que es una proposición simple o atómica

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.

Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F)

La lógica proposicional, permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad par analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representación de las sentencias del ejemplo, como proposiciones,

La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos..


La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica que estudia las proposiciones o sentencias lógicas, sus posibles evaluaciones de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.

Lógica de proposiciones

La Lógica Proposicional ( LP) trata con sentencias declarativas, las cuales reciben el nombre de proposiciones y son evaluadas de forma excluyente como verdaderas o falsas. Las sentencias abstractas del lenguaje de la LP se forma con reglas sintéticas que combinan los símbolos de proposiciones. Ejemplos de proposiciones son: ``la tierra es redonda, ``la luna gira alrededor de la tierra, ``Jaime Rangel tiene el grado de doctor.
Las proposiciones en la logica se denotan por simbolos como P, Q y R que son llamados formulas atomicas o atomos. Dichas proposiciones pueden ser compuestas usando los conectivos siguientes:

• Negación
  
• Conjunción
  
• Disyunción
  
• Implicación

Si y solo Si.
El propósito de las reglas de construcción que constituyen la sintaxis es permitir la especificación combinacional particulares llamadas formulas. El lenguaje de la lógica proposicional es el conjunto de formulas para dar como resultado las denominadas formulas bien formadas.

INTRODUCCIÓN

Teniendo en mente que queremos presentar los sistemas deductivos de la lógica como una herramienta práctica para los informáticos, vamos a introducirnos en el estudio de la lógica comenzando por la más simple, la lógica de proposiciones, que corresponde a la lógica que simboliza y describe razonamientos basados en enunciados declarativos.

Proposiciones

Formalmente, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser:

• Tautología: es la sentencia que es verdadera.
• Contradicción: es la sentencia que es falsa.
• Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.

Proposiciones y operaciones lógicas

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez, La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones; Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplo:

p: La tierra es plana.
q: −17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas

Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones).
Los operadores o conectores básicos son:

Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: ∧
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado
“El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Sean:

p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
q ∧ r

Su tabla de verdad es como sigue:

q r q ∧ r
V V V
V F F
F V F
F F F

En la tabla anterior el valor de q= v significa que el tanque tiene gasolina, r= v significa que la batería tiene corriente y p = q ∧ r=v significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r son falso implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

Operador Or (o)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: { ∨,+,∪ }. Se conoce como la suma lógica.

Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado:

“Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”

p: Entra al cine.
q: Compra su boleto.
r: Obtiene un pase.

q r q ∨ r
V V V
V F V
F V V
F F F

Operador Not (no)

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {~, ¬,- }.
Ejemplo:
p ¬p
V F
F V

Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas son verdaderas el resultado es falso. En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos.

Ejemplo:
p: Hoy es domingo.
q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.
r: Aprobaré el curso.

El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso”.

Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:
p ∧ q ∨ r
Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

Proposiciones condicionales

Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples o compuesta p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

p → q Se lee “Si p entonces q”

Ejemplo:

El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

Sean
p: Salió electo Presidente de la República.
q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.
De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

p → q
Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

q r q → r
V V V
V F F
F V V
F F V


La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:
Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p= v; significa que salió electo, q= v y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p → q = v significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=v y q=f significa que p → q = f; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=f y q=v significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p → q = v.

Proposición bicondicional

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera:
p <→ q Se lee “p si solo si q”
Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es.

Ejemplo:

El enunciado siguiente es una proposición bicondicional
“Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”
Donde:
p: Es buen estudiante.
q: Tiene promedio de diez.

por lo tanto su tabla de verdad es:

q r p ↔ r
V V V
V F F
F V F
F F V

A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos.
Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”
Donde:
p: Pago la luz.
q: Me cortarán la corriente eléctrica.
r: Me quedaré sin dinero.
s: Pediré prestado.
t: Pagar la deuda.
w: soy desorganizado.

(¬p → q) ∧ ( p →(r ∨ s) ) ∨ ( (r∧ s) → (¬ t) ) ↔ w

Tablas de verdad

En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición ((p →q) ∧(¬q ∧ r) ) ⇔(r → q).
p q r ¬q p → q ¬q ∧ r (p → q)∨(¬q ∧ r) r → q ((p → q) ∨(¬q ∧ r))↔(r → q)
F F F V V F V V V
F F V V V V V F F
F V F F V F V V V
F V V F V F V V V
V F F V F F F V F
V F V V F V V F F
V V F F V F V V V
V V V F V F V V V

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.
No de líneas =
Donde n = número de variables distintas.

Tautología y contradicción

Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
p q ¬p ¬q p → q ¬q → ¬p (p → q)↔(¬q → ¬p)
F F V V V F V
F V V F V F V
V F F V F V V
V V F F V F V

Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre v. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.
A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales.

1.- Doble negación.

a). ¬ ¬ p ≡ p


2.- Leyes conmutativas.

a). (p ∨ q)≡(q ∨ p )
b). (p ∧ q)≡(q ∧ p)
c). (p <→ q)≡(q <→ p)


3.- Leyes asociativas.

a). (p ∨ q)∨r ≡ p∨(q∨r)
b). (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧(q ∧ r)

4.- Leyes distributivas.

a). p ∨(q ∧ r)≡ (p ∨ q) ∧(p ∨ r)
b). p ∧(q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)


5.- Leyes de idempotencia.

a). (p ∨ p)≡ p
b). (p ∧ p)≡ p


6.- Leyes de Morgan

a). ¬(p ∧ q) ≡( ¬ p ∨ ¬ q)
b). (p ∨q) ≡( ¬ p ∧ ¬ q)


7.- Contrapositiva.

a). (p → q) ≡ ( ¬ q → ¬ p)


8.- Implicación.

a). (p → q)≡( ¬p ∨ q)
b). (p → q)≡ ¬(p ∧ ¬q )
c). (p ∨ q)≡(¬p → q)
d). (p ∧ q)≡ ¬(p → ¬q)
e). (p → r) ∧ (q → r) ≡ (p ∧ q)→ r
f). (p → q) ∧ (p → r) ≡ p → (q ∧ r)


9.- Equivalencia.

a). (p <→ q) ∧ (p → q) ∧(q → p)

Más leyes de la logica de proposiciones

Reglas de inferencia
1. Regla de separación (Sep.) o del modus ponens. Regla de eliminación del
condicional (RE→):
S→R
S_
R

2. Regla de unión (Un.) o de introducción de la conjunción (RI ∧):
S
R_
S∧R

3. Regla de inserción (Ins.):
S→R
R→T
S→T

4. Regla de intercambio (Int.):
S→R
R↔T
S→T

Leyes de reducción al absurdo:
(¬p→(q∧¬q))↔p

Leyes de transposición:
(p→q)↔(¬q→¬p)
(p↔q)↔(¬q↔¬p)

Leyes de permutación:
(p→(q→r))↔(q→(p→r))

Leyes del silogismo:
(p→q)→((q→r)→(p→r))

Silogismo hipotético o transitividad
((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)

Leyes de inferencia de la alternativa o de los silogismos disyuntivos:
[¬p∧(p∨q)]→q
[p∧(¬p∨¬q)]→¬q

Ley del dilema constructivo:
[(p∨q)∧(p→r)∧(q→r)]→r

Segunda ley del dilema constructivo:
[(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)]→(q∨s)

Ley del dilema destructivo:
[(¬p∨¬q)∧(r→p)∧(s→p)]→(¬r∨¬s)

Ley de exportación:
[(p∧q)→r]↔[(p→(q∨r)]

Ley de resolución:
[(¬p∨q)∧(p∨r)]→(q∨r)

Ley del bicondicional:
(p↔q)↔[(p→q)∧(q→p)]

Condicional-disyuncion:
(p→q)↔(¬p∨q)

Condicional-conjunción:
(p→q)↔¬(p∧¬q)

Leyes de simplificación:
(p∧q)→p
p→(p∨q)

Leyes de expansión:
(p→q)↔[p↔(p∧q)]
(p→q)↔[q↔(p∨q)]

Modus ponendo ponens:
[(p→q)∧p]→q

Modus tollendo tollens:
[(p→q)∧¬q]→¬p

Contradicción

Es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es p ∧ ¬p. Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.

p ¬p p ∧ ¬p
F V F
V F F


Si en el ejemplo anterior p: La puerta es verde; La proposición p ∧ ¬p equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.
Una proposición compuesta cuyos resultados en sus diferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado verdadero y falso se le llama contingente.

LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica se preocupa de las proposiciones; y estudia las formas válidas según las cuales a partir de la verdad o falsedad de una o varias proposiciones se pueda argumentar o inferir la verdad o falsedad de otras. Tengamos en cuenta que el cálculo lógico basado en valor V (VERDADERO) y F (FALSO), traducido como sistema binario a 1 (VERDADERO) y 0 (FALSO), es la base sobre la que se han construido las máquinas de cálculo y los ordenadores o computadoras.

Por eso la verdad lógica es una verdad formal, que no tiene contenido. Eso explica por qué puede establecer sus leyes y reglas de modo simbólico, construyendo diversos cálculos que puedan modelizar algunos contextos lingüísticos o teorías científicas, de forma semejante a las matemáticas.

En una proposición distinguimos unos cuatro tipos de oraciones:
1.- Descriptivas. Ejemplo "Los hombres mueren".
2.- Imperativas. Ejemplo "¡Muere!".
3.- Interrogativas. Ejemplo "¿Ha muerto?".
4.- exclamativas. Ejemplo "¡Ojalá muera!".

La lógica proposicional estudia la estructura formal de la inferencia, tomando en cuenta a las proposiciones (o los enunciados). La lógica trata de enunciar: si una proposición es verdadera o si es falsa, esto nos informa sobre la realidad.

Ejemplos: "¡No hables!" No es enunciado.
"¿Quién anda ahí?" No es enunciado.
"El presidente de los Estados Unidos es marciano" Si es enunciado.

PROPOSICIÓNES ATÓMICAS Y MOLECULARES

-Clases de enunciados; -
*Enunciados Atómicos: Constan de una sola proposición, no se puede descomponer en más.
Ejemplo: " El gato sonrió la ver al ratón".

Se simboliza por letras minúsculas a partir de la p., como son la p, q, r, s, t, etc. (y si es necesario p1,q1,r1,… p2,q2, etc.).
Si establecemos conexiones lógicas entre varias proposiciones atómicas, según unas reglas perfectamente establecidas anteriormente y definidas como funciones de verdad (y, o, entonces, si y solo si) construiremos proposiciones moleculares o compuestas.

*Enunciados Moleculares: Compuestos por dos o más proposiciones, constaN de varios enunciados atómicos, y se pueden descomponer.
Ejemplo: "El gato sonrió al ver al ratón y el ratón huyó".
Proposición 1; “El gato sonrió al ver al ratón”
Proposición 2;”El ratón huyo”

Así la proposición “Si llueve entonces el suelo está mojado”, enlaza la proposición “llueve” con la proposición “el suelo está mojado”, bajo el aspecto de función de verdad “si…… entonces…..”.

Por su extensión, las proposiciones pueden clasificarse en;
Universales; Cuando el sujeto está tomado en su extensión universal ( "Todo S es P” ),
Particulares; Cuando el sujeto está tomado en su extensión particular ( "Algún S es P” ).
Singulares o Existenciales; Cuando ( “S es P” )

La combinación de ambos criterios da lugar a los siguientes tipos de proposiciones:

• Universal afirmativa ( "Todos los humanos son mortales" ).
• Universal negativa ( "Ningún humano es mortal" ).
• Particular afirmativa ( "Algunos planetas giran alrededor del Sol" ).
• Particular negativa ( "Algunos planetas no giran alrededor del Sol" ).
• Existencial afirmativa ( "Sócrates existe" ).
• Existencial negativa ( "Sócrates no existe" )

Las proposiciones son los elementos a partir de los cuales se construyen los razonamientos.

LOGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.

Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por ejemplo:

Hoy es Viernes

Ayer llovió

Hace frío

La lógica proposicional, permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad par analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representación de las sentencias del ejemplo, como proposiciones, sería:

hoy_es_Viernes

ayer_llovió

hace_frío

La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos. Por ejemplo:

hoy_es_Viernes y hace_frío.

A la proposición anterior dada como ejemplo, se la denomina fórmula bien formada (well-formed formula, wff). Una fórmula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. La lógica proposicional proporciona un mecanismo para asignar valores de veracidad a la proposición compuesta, basado en los valores de veracidad de las proposiciones simples y en la naturaleza de los conectores lógicos involucrados.

Lógica Proposicional

Permite expresar y razonar con declaraciones que son o verdaderas o falsas.

Los átomos se pueden combinar con conectores lógicos (dando proposiciones compuestas)

Solo algunas combinaciones de átomos y conectores son permitidas: formulas bien formadas (wff)

El significado de una fórmula proposicional se puede expresar por medio de un función:

La función w es una función de interpretación que satisface:

F G
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T

SI w es una interpretación que asigna a una fórmula dada, el valor de verdad true, Entonces w se dice ser un modelo de F

Una fórmula se dice válida si es verdadera bajo cualquier interpretación (tautología)

Una fórmula es iválida si no es válida

Una fórmula es insatisfascible o inconsistente si es falsa bajo cualquier interpretación (contradicción) Else es satisfascible o consistente

Una fórmula es válida cuando su negación es insatisfascible y viceversa.

válido inválido
siempre cierto a veces T o F siempre falso
satisfacible insatisfacible

Una fórmula G se dice que es una consequencia lógica de un conjunto de fórmulas , denotado por si para cada interpretación w para la cual , entonces w(G) = true

SI y o

Para derivar consecuencias lógicas también se pueden hacer por medio de operaciones exclusivamente sintáctivas (e.g., modus ponens, modus tollens).

La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica que estudia las proposiciones o sentencias lógicas, sus posibles evaluaciones de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.

Una proposición se define como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediantes letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones, definidas como functores o funciones de verdad, se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser, según su tabla de verdad:
Tautología o validez: es una proposición que siempre es verdadera.
Contradicción: es una proposición que siempre es falsa.
Contingencia: es una proposición que puede ser verdadera o falsa.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez, La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones; Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplo:

p: La tierra es plana.
q: −17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.