Lógica Matemática - LP: Definición

Proposiciones

Formalmente, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser:

Tautología: es la sentencia que es verdadera.
Contradicción: es la sentencia que es falsa.
Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.

La lógica de predicados está basada en la idea de las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado.

Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.

Por ejemplo, el siguiente predicado es verdadero:


color (yerba, verde)

el mismo predicado, pero con diferentes argumentos, puede no ser verdadero:

color (yerba, azul) o color (cielo, verde)

Los predicados también pueden ser utilizados para asignar una cualidad abstracta a sus términos, o para representar acciones o relaciones de acción entre dos objetos.

La lógica del predicado consiste en un lenguaje para expresar proposiciones y reglas para inferir nuevas proposiciones a partir de las que ya conocemos.

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Las preposiciones son palabras que se emplean en la formación de las oraciones para relacionar las ideas componentes de la misma; de manera que si ellas mismas no tienen un sentido expresivo propio, contribuyen de manera fundamental a darle sentido a la totalidad de la oración al establecer una relación semántica o de sentido.

La función de las preposiciones es la de establecer una relación de modificación o subordinación entre dos elementos (el regente o modificado y el término de la preposición). La preposición, junto con su término forma el sintagma preposicional
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Proposición lógica
Expresión enunciativa a la que puede atribuirse un sentido o función lógica de verdad o falsedad.

Aunque existen lógicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aquí consideramos únicamente el valor de Verdad o Falsedad.

Un enunciado lingüístico (generalmente en la forma gramatical de una oración enunciativa) puede ser considerado como proposición lógica cuando es susceptible de ser verdadero o falso. “Es de noche”.
Proposición, enunciado y juicio.
También se distingue la proposición del juicio, entendido éste como acto subjetivo de una afirmación basada en una creencia. Afirmar que llueve como acto interno del individuo fundamentado en su creencia, con independencia de su expresión lingüística. Podríamos de alguna forma considerarlo como pensamiento. Mirar por la ventana y constatar que llueve suscita un juicio, apreciación o creencia de que “está lloviendo”, con independencia de que se exprese en un enunciado.

Como proposición, (independiente de los juicios y los pensamientos de cualquiera; con independencia del lenguaje o forma de expresión lingüística en el que se exprese el pensamiento, incluso de la realidad de que llueva o no llueva), a la lógica lo que le interesa es únicamente la función poder ser verdadero o falso.

Algunos filósofos, por eso, llegaron a pensar que la lógica habla de lo posible, o de “mundos composibles”, no de lo real. (Mundo = conjunto determinado de posibles compatibles en una unidad posible)

La lógica se preocupa de las proposiciones; y estudia las formas válidas según las cuales a partir de la verdad o falsedad de una o varias proposiciones se pueda argumentar o inferir la verdad o falsedad de otras.

Por eso la verdad lógica es una verdad formal, que no tiene contenido. Eso explica por qué puede establecer sus leyes y reglas de modo simbólico, construyendo diversos cálculos que puedan modelizar algunos contextos lingüísticos o teorías científicas, de forma semejante a las matemáticas.

Su elemento fundamental es la proposición lógica y la definición de las reglas.

Tengamos en cuenta que el cálculo lógico basado en valor V y F, traducido como sistema binario a 1 y 0, es la base sobre la que se han construido las máquinas de cálculo y los ordenadores o computadoras.

Los enunciados y los juicios subjetivos son estudiados por otras ciencias.
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Sintaxis: En esta l´ogica, el vocabulario es un conjunto de s´ýmbolos de predicado
P (cuyos elementos escribiremos normalmente como p, q, r, . . .). Una f´ormula de
l´ogica proposicional sobre P se define como:
Todo s´ýmbolo de predicado de P es una f´ormula.
Si F y G son f´ormulas, entonces (F ^ G) y (F _ G) son f´ormulas.
Si F es una f´ormula, entonces ¬F es una f´ormula.
Nada m´as es una f´ormula.
Interpretaci´on: Una interpretaci´on I sobre el vocabulario P es una funci´on
I:P ! {0, 1}, es decir, I es una funci´on que, para cada s´ýmbolo de predicado,
nos dice si es 1 (cierto, true) o 0 (falso, false).
Satisfacci´on: Sean I una interpretaci´on y F una f´ormula, ambas sobre el vocabulario
P. La evaluaci´on en I de F, denotada evalI (F), es una funci´on que
por cada f´ormula da un valor de {0, 1}. Definimos evalI (F) para todos los casos
posibles de F, usando min, max y − que denotan el m´ýnimo, el m´aximo, y la
resta (sobre n´umeros del conjunto {0, 1}), donde, como sabemos:
min(0, 0) = min(0, 1) = min(1, 0) = 0 y min(1, 1) = 1
max(1, 1) = max(0, 1) = max(1, 0) = 1 y max(0, 0) = 0:
si F es un s´ýmbolo p de P entonces evalI (F) = I(p)
evalI ( (F ^ G) ) = min( evalI (F), evalI (G) )
evalI ( (F _ G) ) = max( evalI (F), evalI (G) )
evalI ( ¬F ) = 1 − evalI (F)
Definimos: si evalI (F) = 1 entonces I satisface F, denotado I |= F. En este
caso tambi´en se dice que F es cierto en I, o que I es un modelo de F.