Lógica Matemática - LPred: SINTAXIS

La lógica proposicional, como lenguaje formalizado, puede considerarse como la unión de un una sintaxis y una semántica.

La sintaxis estudia los signos mismos con independencia de su significado (en el caso, la construcción de la frase dentro de las reglas del idioma).

La sintaxis hace referencia a aquellas reglas que determinan cuáles son las combinaciones correctas de signos.

Ejemplos:

p, q, r, s, t, ... son fórmulas bien formadas del cálculo proposicional.
Si A es una fórmula bien formada del cálculo, entonces ¬A es también una fórmula bien formada del cálculo.
Si A y B son fórmulas bien formadas del cálculo, entonces A ^ B, A v B, A → B y A ↔ B son también fórmulas bien formadas del cálculo.
La semántica hace referencia fundamentalmente a la manera en que que asignan valores de verdad a las expresiones del cálculo. Diremos que el cálculo proposicional es veritativo-funcional en el sentido de que el valor de verdad de sus fórmulas depende (o es función de) los valores de verdad asignados a sus variables. Las conectivas son las que desempeñan el papel de funciones de verdad.

Además de la sintaxis y la semántica, se deben añadir las reglas de inferencia (las reglas de transformación del cálculo) que son las que permiten realizar deducciones.

Sintaxis

El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias. Está constituido por:

Símbolos de veracidad: V para verdadero y F para falso.
Símbolos de variables: p, q, r, s, ...
Símbolos de conectivas:
Ø NO Negación
Ù Y Conjunción
Ú O Disyunción inclusiva
Å O..O Disyunción exclusiva
® SI..ENTONCES Condicional
« SI Y SOLO SI Bicondicional

Símbolos de puntuación: ( , ), para evitar ambigüedades.

Reglas de formación

Las clases de sentencias bien formadas se definen por reglas puramente sintácticas, llamadas reglas de formación, y que son:

Una variable proposicional es una sentencia bien formada.
Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.
Dos sentencias bien formadas unidas por una de las partículas conectivas binarias constituye una sentencia bien formada.
Se pueden omitir los paréntesis que encierran una sentencia completa.
El estilo tipográfico de los paréntesis se puede variar para hacerlos más evidentes usando corchetes y llaves.
A las conjunciones y disyunciones se les puede permitir tener más de dos argumentos.

Conectivas

Las conectivas se dividen por su aplicación en:

Singulares: se aplican a una única sentencia.
Binarias: se aplican a dos sentencias.

Por su definición, también se pueden dividir en:

Primitivas: las variables proposicionales, los paréntesis y las conectivas NO y O.
Definidas: las conectivas Y, SI ... ENTONCES, ... SI Y SOLO SI ... y O ... O.


Tablas de verdad

La tabla de verdad de una sentencia es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la sentencia y el valor de verdad de la sentencia para cada interpretación.


SEMANTICA

Negación (NO)

Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.

p Ø p
_ _ _ _ _ _
V F
F V

Disyunción inclusiva (O)

La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p q p Ú q
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V V V
V F V
F V V
F F F


Conjunción (Y)

Es una conectiva definida por:

p Ù q º Ø ( Øp Ú Øq )

La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p q p Ù q
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V V V
V F F
F V F
F F F

Condicional (SI ... ENTONCES)

Es una conectiva definida por:

p ® q º ¬ p Ú q

La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es válido p entonces lo es q.

p q p à q
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V V V
V F F
F V V
F F V

Bicondicional (... SI Y SOLO SI ...)

Es una conectiva definida por:

p « q º ( ( p à q ) Ù( q à p ) )

La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.

p q p «q
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V V V
V F F
F V F
F F V


Disyunción exclusiva (O ... O)

Es una conectiva definida por:

p Å q º Ø( p «q )

La sentencia será verdadera sólo cuando una de las dos variables proposicionales sea verdadera.

p q p Å q
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V V F
V F V
F V V
F F F

Axiomas y reglas

Los axiomas para el cálculo proposicional son:

( p Ú p ) ® p
q ® ( p Úq )
( p Ú q ) ® ( q Ú p )
( p ® q ) ® [ ( r Ú p ) ® ( r Ú q ) ]

A partir de estos axiomas y aplicando las dos reglas de transformación siguientes se puede demostrar cualquier teorema:

Regla de sustitución: el resultado de reemplazar cualquier variable en un teorema por una sentencia bien formada es un teorema.
Regla de separación: si S y ( S ® R ) son teoremas, entonces R es un teorema.

Relativo a un criterio de validación, un sistema axiomático debe cumplir las siguientes propiedades:

Debe ser lógico o razonable: en el sentido de que todo teorema es una tautología.
Completo: toda sentencia bien formada v lida es un teorema y se debe poder demostrar a partir de los axiomas.
Consistente: no se pueden demostrar como teoremas, sentencias bien formadas que no sean tautologías.
Deben ser independientes: ningún axioma debe ser derivable a partir de los otros.

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Los sistemas basados en reglas son los más comúnmente utilizados. Su simplicidad y similitud con el razonamiento humano, han contribuido para su popularidad en diferentes dominios. Las reglas son un importante paradigma de representación del conocimiento.

Las reglas representan el conocimiento utilizando un formato SI-ENTONCES (IF-THEN), es decir tienen 2 partes:

La parte SI (IF), es el antecedente, premisa, condición o situación; y
La parte ENTONCES (THEN), es el consecuente, conclusión, acción o respuesta.
Las reglas pueden ser utilizadas para expresar un amplio rango de asociaciones, por ejemplo:

SI está manejando un vehículo Y se aproxima una ambulancia, ENTONCES baje la velocidad Y hágase a un lado para permitir el paso de la ambulancia.

SI su temperatura corporal es de 39 ºC, ENTONCES tiene fiebre.

SI el drenaje del lavabo está tapado Y la llave de agua está abierta, ENTONCES se puede inundar el piso.


Los simbolos que introduce la lógica de predicados son:
.Variables individuales,que que representan individuos determinados. Se emplean las últimas letras minúsculas del alfabeto: x, y, z.
.Constantes individuales, que representan individuos determinados. Se utilizan las primeras letras minúsculas del alfabeto: a, b, c,..
.Variables predicativas, que representan predicados indeterminados. Se usan letras mayúsculas: F, G, H..
.Cuantificadores, hacen referencia a la totalidad o a una parte de los miembros de un conjunto. Pudiendo ser la generalización universal o particular.