Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ha pasado a la historia como filósofo y como matemático. Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal; una de esas teorías que nacen feas y se van embelleciendo extraordinariamente con el tiempo.
Leibniz nació en el seno de una familia muy bien equipada intelectualmente: su padre era profesor de filosofía, y en la casa existía una biblioteca muy bien nutrida de la que el joven Gottfried hizo buen uso durante su infancia. Se dice que aprendió latín y griego de niño por sí mismo. A los 15 años estaba preparado para ingresar en la universidad de Leipzig y con 20, había terminado su tesis doctoral.
En 1.672 nuestro héroe fue enviado a París a desarrollar sus tareas como diplomático de alto rango. En aquel momento la ciudad luz era un hervidero de ciencia: Leewenhoeck, Boyle y Hooke son una muestra de lo que allá se ofrecía a los ojos de Leibniz, ávidos de conocimiento.
No obstante, su formación matemática era muy escasa, y consciente de que tal cuestión le limitaba mucho a la hora de aprender ciencia, decidió seguir un “curso de choque” para embeberse de las tendencias contemporáneas de la matemática, armado de sus conocimientos de matemática clásica (geometría euclidea principalmente) , su extraordinaria inteligencia y su energía.
Por aquel entonces, estaba en París Christian Huygens (1629-1695). Aunque hoy lo conocemos por sus contribuciones a la física (teoría ondulatoria especialmente), en su momento era un compendio de la matemática más actual con patas. Había realizado extensos estudios sobre diversas curvas matemáticas (la cicliode en especial), y su renombre y aureola de sabiduría eran enormes. Nadie mejor que él para tutelar al joven Leibniz. Nadie mejor que Leibniz para aprovechar el privilegio de tal tutor.
El bueno de Huygens planteó a Leibniz muchos problemas de series: sumas infinitas de números. La teoría de series estaba en mantillas, y a veces sólo con gran ingenio se conseguía encontrar el sumatorio de una serie concreta. Para probarlo, le instó a encontrar la suma de los inversos de los números triangulares. Estos números son los que se obtienen de las disposiciones triangulares de la figura: 1,3,6,10,15,21,...
Vamos a ver cómo, con un ingenio y una magia impresionantes, Leibniz solucionó dicho problema sin hacer uso de ningun concepto especial de la teoría de series; pura magia matemática.
S= 1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+...
Leibniz empezó por dividir la serie por 2. obteniendo:
(1/2)S=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...
Como la cosa estaba aún peor que al principio, decidió (seguramente por probar) expresar cada término como una resta de fracciones, y de repente, encontró una pauta:
1/2= 1-1/2
1/6=1/2-1/3
1/12=1/3-1/4
1/20=1/4-1/5 etc.
De forma que le quedó algo como esto:
(1/2)S=(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) + (1/5-1/6) + ...
quitando los paréntesis, tenemos :
(1/2)S=1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6+ ...
donde absolutamente todo se cancela menos el primer 1, quedando:
(1/2)S=1, luego S=2, sin más historias.
Casi ná.
A puro huevo, obtuvo el resultado correcto ganándose el respeto de su tutor, y nuestra admiración. Mucho Leibniz.
PD. La forma en la que estos matemáticos manipulaban las series, vistas desde la perspectiva actual, dejan mucho que desear. Si os parece, veremos en otro post cómo uno de los Bernoulli (Johann) demostró la divergencia de la serie armónica, de una forma que hoy no aceptaríamos como rigurosa. Veremos cómo lo haríamos nosotros ahora y comentaremos las diferencias, sutiles y bellas como el tema que nos ocupa. En el fondo de la cuestión está ni más ni menos el tratamiento que debemos darle al infinito. Les espero.
