La Metodología de las raíces unitarias - Ecuación de Cointegración y Mecanismos de Corrección d

Se dice que un vector de series de tiempo x_t es cointegrado de orden d,b ( x_t ~ CI(d,b)) si siendo todas las series del vector ~ I(d), existe un vector de coeficientes a  tal que z = a‘x  ~ I(d -b), b >0. En particular, si N=2 y d=b=1 se tiene para las series x_t y y_t, las cuales son I(1), que si bien en general cualquier combinación lineal de ellas es I(1), si existe un  a tal que z_t= x_t - ay_t es I(0), ellas son cointegrados de orden 1 y el parámetro de Cointegración  a es único.  

Ahora bien, el hecho de que esta combinación lineal es I(0) a pesar de que las series individualmente sean I(1), en otras palabras, de que z_t, por oposición a x_t y a y_t individualmente no tienen componentes dominantes de onda larga significa que a es tal que el grueso de los componentes de largo plazo de y_t y ax_t se cancelan mutuamente. Por otra parte, cuando se deriva de la teoría económica la operación de fuerzas que tienden a mantener x_t  y  y_t juntas y se postula la existencia de una relación de equilibrio de largo plazo entre ellas, se esta implicando que x_t y y_t no pueden alejarse mucho lo cual expresado en términos las características del error de equilibrio z_t, significa que e  debe ser estacionario. Por consiguiente, esta reducción del orden de integración de manera que z_t es I(0) aparece como la condición  de posibilidad estadística de la postulación de una relación de equilibrio entre x_t y y_t. O para ponerlo en términos de las pruebas de hipótesis de la representación de  paseo aleatorio para z_t, el equilibrio estimado sería desalentador e irrelevante.  

Resulta entonces, claro , que hacer pruebas de Cointegración entre x_t y y_t no es diferente de hacer pruebas de estacionariedad de z_t; más precisamente, con el fin de comprobar la hipótesis nula de no Cointegración para esas series lo único que se necesita hacer es  comprobar la hipótesis nula de una representación de paseo aleatorio para z_t. Y por consiguiente, el procedimiento metodológico obvio con el fin de hacerlo es correr la regresión de Cointegración x_t= C + ay_t + e_t, por mínimos cuadrados ordinarios y aplicar alguna de las pruebas de raíz unitaria. Es de anotarse que un síntoma de Cointegración entre variables es un valor alto del R² acompañado de valores no muy bajos (de acuerdo con la prueba de Sargan y Bhargava) de estadístico de Durbin y Watson.  

Granjer y Engle (1987) muestran que, en el caso de Cointegración, el procedimiento de mínimos cuadrados ordinarios produce resultados consistentes para los parámetros de la ecuación (mejor aún, superconsistentes, en el sentido de que los parámetros tienden a su verdadero valor en forma inversamente proporcional al número de observaciones y no a la raíz cuadrada de ese número como es el caso usual con series estacionarias), muestran también que las pruebas de hipótesis usuales no son válidas. Ellos muestran también que, en el caso de dos variables, la ecuación de Cointegración esta identificada (en el sentido econométrico no en el sentido de series de tiempo) por  la condición de que es la única combinación lineal de las variables con varianza finita; en el caso de varias variables puede haber diversas relaciones de Cointegración y es necesario introducir criterios adicionales de identificación, normalmente por exclusión de variables como en la situación clásica.  

En cuanta a las pruebas de Dickey y Fuller y de Dickey y Fuller Ampliada, de nuevo se utilizan las tablas no estándar del “t” con el objeto de rechazar una hipótesis de raíces unitarias en favor de la estacionariedad; sin embargo, debe enfatizarse  que en el caso de haber más de dos variables en el vector de Cointegración, caso en el cual  a no es necesariamente único de manera que pueden existir varias relaciones de equilibrio, los valores críticos del estadístico “t” son ahora correspondientemente altos[20]. Por otra parte, en cuanto a la prueba de Sargan y Bhargava, en la misma forma que cuando se comprobaba la  presencia de raíces unitarias, un DW de la regresión x_t = c + u_t significativamente mayor que cero permitía rechazar la hipótesis de que x_t era paseo aleatorio, cuando se comprueba Cointegración un DW de la regresión de Cointegración (notado como CRDW) significativamente mayor que cero permite rechazar la hipótesis de no Cointegración.

Finalmente, se va a considerar el vínculo entre Cointegración y mecanismo de corrección de errores tanto desde un punto de vista estadístico como desde un punto de vista metodológico, el primero con respecto a lo que es conocido como Teorema de Representación de Granger, y el segundo al así llamado Procedimiento en Dos Etapas de Engle y Granger (2EEG)[21]. Ahora bien, antes de introducir esto se debe recordar que un mecanismo de corrección de errores  postula[22]  que una proporción del desequilibrio de un período es corregido es corregido en el siguiente período, y que un modelo de este tipo relacionaría el cambio de una variable con los errores de equilibrios pasados y los cambios pasados en ambas variables. Entonces, la implicación de este teorema es que series cointegradas tienen una representación de mecanismo de corrección de errores e, inversamente, un mecanismo de corrección de errores genera series cointegradas; en otras palabras: si x_t , y_t son I(1), sin tendencias en medias, y son cointegradas, siempre existe un mecanismo de corrección de errores de la forma:

x_t = -g₁ z_t-1 + A₁ (L) x_t + B₁ (L) y_t + D₁ (L)h_1t

y_t = -g₂ z_t-1 + A₂ (L) x_t + B₂ (L) y_t + D₂ (L)h_2t

donde z_t-1 es el residuo de la ecuación de Cointegración rezagado un período y todos los polinomios en términos rezagados tienen sus raíces fuera del círculo unitario. Además datos generados por un mecanismo de corrección de error debe ser cointegrado (Granger, 1986).  

Ahora bien, la existencia, dada la Cointegración, de una representación MCE que no esta sujeta a los problemas de regresión espuria, ya que todas las variables que entran en la ecuación son estacionarias, da lugar al método de dos etapas de Engle y Granger. Este procedimiento es muy sencillo, simplemente consiste  en la ejecución de la regresión en niveles por mínimos cuadrados ordinarios, la realización de la prueba de Cointegración, seguida de la estimación de un mecanismo de corrección de error, estimado otra vez por MCO, este mecanismo incluye los  residuos de la ecuación de Cointegración en lugar de términos en niveles de las variables que entran en ella, tal como se muestra. En esta forma, la imposición de restricción dada por la ecuación de Cointegración sobre el MCE expresa la introducción del impacto de la relación teórica de equilibrio de largo plazo sobre el modelo dinámico de corto plazo. En términos prácticos, entonces, se puede (y se debe) usar Cointegración en primer lugar como una pre -  prueba a fin de evitar situaciones de regresión espuria, y únicamente después de rechazar no Cointegración pasar a la especificación en cambios rezagados, con el fin de modelar  z mediante el mecanismo de corrección de errores. De manera que, el procedimiento de Engle y Granger permite producir proyecciones de corto plazo que, al ser consistentes con las de largo plazo derivadas de la teoría económica, proveen una alternativa poderosa a aquellas derivadas del análisis simple de series de tiempo y, además permite la incorporación clara de  la estructura dinámica en las ecuaciones derivadas de la teoría económica, al permitir estimar conjuntamente tanto la relación de equilibrio como el comportamiento del sistema fuera del equilibrio.