El objetivo último de la teoría de colas consiste en responder cuestiones administrativas pertenecientes al diseño y a la operación de un sistema de colas. El gerente de un banco puede querer decidir si programa tres o cuatro cajeros durante la hora de almuerzo. En una estructura de producción, el administrador puede desear evaluar el impacto de la compra de una nueva máquina que pueda procesar los productos con más rapidez.
Cualquier sistema de colas pasa por dos fases básicas. Por ejemplo, cuando el banco abre en la mañana, no hay nadie en el sistema, de modo que el primer cliente es atendido de forma inmediata. Conforme van llegando más clientes, lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que esperar se empieza a aumentar. A medida que avanza el día, el sistema llega a una condición en la que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada cliente ha alcanzado niveles bastante estables.
Algunas medidas de rendimiento comunes
Existen muchas medidas de rendimiento diferentes que se utilizan para evaluar un sistema de colas en estado estable. Para diseñar y poner en operación un sistema de colas, por lo general, los administradores se preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, así como el uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. Algunas de las medidas que se utilizan para evaluar el rendimiento surgen de hacerse las siguientes preguntas:
Preguntas relacionadas con el tiempo, centradas en el cliente, como:
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¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente recién llegado tiene que esperar en la fila antes de ser atendido?. La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio de espera, representado con Wq
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¿Cuál es el tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el tiempo de espera y el de servicio?. La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio en el sistema, denotado con W
Preguntas cuantitativas relacionadas al número de cliente, como:
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En promedio ¿cuántos clientes están esperando en la cola para ser atendidos?. La medida de rendimiento asociada es la longitud media de la cola, representada con Lq
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¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema?. La medida de rendimiento asociada es el número medio en el sistema, representado con L
Preguntas probabilísticas que implican tanto a los clientes como a los servidores, por ejemplo:
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¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar a ser atendido?. La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de bloqueo, que se representa por, pw
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En cualquier tiempo particular, ¿cuál es la probabilidad de que un servidor esté ocupado?. La medida de rendimiento asociada es la utilización, denotada con U. Esta medida indica también la fracción de tiempo que un servidor esta ocupado.
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¿Cuál es la probabilidad de que existan n clientes en el sistema?. La medida de rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad Po de que no haya clientes en el sistema , la probabilidad Pi de que haya un cliente en el sistema, y así sucesivamente. Esto tiene como resultado la distribución de probabilidad de estado, representada por Pn, n=0,1......
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Si el espacio de espera es finito, ¿Cuál es la probabilidad de que la cola esté llena y que un cliente que llega no sea atendido?. La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de negación del servicio, representada por Pd
Preguntas relacionadas con los costos, como:
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¿Cuál es el costo por unidad de tiempo por operar el sistema?
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¿Cuántas estaciones de trabajo se necesitan para lograr mayor efectividad en los costos?
El cálculo específico de estas medidas de rendimiento depende de la clase de sistema de colas. Algunas de estas medidas están relacionadas entre sí. Conocer el valor de una medida le permita encontrar el valor de una medida relacionada.
Relaciones entre medidas de rendimiento
El cálculo de muchas de las medidas de rendimiento depende de los procesos de llegadas y de servicio del sistema de colas en específico. Estos procesos son descritos matemáticamente mediante distribuciones de llegada y de servicio. Incluso sin conocer la distribución especifica, las relaciones entre algunas de las medidas de rendimiento pueden obtenerse para ciertos sistemas de colas, únicamente mediante el uso de los siguientes parámetros de los procesos de llegada y de servicio.
l = número promedio de llegadas por unidad de tiempo
m = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en una sección
Supongamos que una población de clientes infinita y una cantidad limitada de espacio de espera en la fila. El tiempo total que un cliente invierte en el sistema es la cantidad de tiempo invertido en la fila más el tiempo durante el cual es atendido:
Tiempo promedio en el sistema = Tiempo de espera + Tiempo de servicio
El tiempo promedio en el sistema y el tiempo promedio de espera están representados por las cantidades W y Wq, respectivamente. El tiempo promedio de servicio puede expresarse en términos de parámetros de &. Por ejemplo, si & es 4 clientes por hora, entonces , en promedio, cada cliente requiere 1 /4 para ser atendido. En general, el tiempo de servicio es 1/&, lo cual nos conduce a la siguiente relación:
W = Wq + 1/m
Consideremos ahora la relación entre el número promedio de clientes en el sistema y el tiempo promedio que cada cliente pasa en el sistema. Imaginemos que un cliente acaba de llegar y se espera que permanezca en el sistema un promedio de media de hora. Durante esta media hora, otros clientes siguen llegando a una tasa ¿¿digamos doce por hora??. Cuando el cliente en cuestión abandona el sistema, después de media hora, deja tras de sí un promedio de (1/2)*12 = 6 clientes nuevos.
Es decir, en promedio, existen seis clientes en el sistema en cualquier tiempo dado. Entonces:
Tiempo promedio de clientes = Número de llegadas X *Tiempo promedio en el sistema.
de modo que:
L =l *W
Utilizando una lógica parecida se obtiene la relación entre el número promedio de clientes que esperan en la cola y el tiempo promedio de espera en la fila:
Tiempo promedio de clientes = Número de llegadas X Unidad de tiempo en la cola
de manera que:
Lq =l * Wq
