Métodos para la evaluación de proyectos - Anexo D. Ra¨ªces de N¨²meros Complejos

Formas de Representaci¨®n 

Los n¨²meros complejos representan un punto P(a;b) en el plano complejo como se ilustra en la figura 3 donde:

a: proyecci¨®n sobre el eje X del punto P(a;b).

b: proyecci¨®n sobre el eje X del punto P(a;b).

r: distancia (m¨®dulo) del punto al origen de coordenadas P(0;0), obtenida mediante la expresi¨®n .

q: ¨¢ngulo formado por el eje X y el segmento de recta que une el origen de coordenadas y el punto P(a;b). Matem¨¢ticamente su valor de obtiene a trav¨¦s de la expresi¨®n .

Anal¨ªticamente pueden representarse a trav¨¦s de las formas siguientes:

©¤                Forma bin¨®mica: Est¨¢ constituida por dos componentes: una real (a) y otra compleja (bi) mediante la forma , donde i es la unidad imaginaria que se define como .

©¤                Forma trigonom¨¦trica: En este caso los valores de a y b se sustituyen por su equivalente trigonom¨¦trico de la forma que se indica a continuaci¨®n: . Los valores del coseno y el seno de q pueden determinarse a traves de las siguientes expresiones:  y

©¤                Forma exponencial: Esta representaci¨®n utiliza la identidad fundamental de las exponenciales imaginarias: . Sustituyendo la expresi¨®n anterior en la forma trigonom¨¦trica se obtiene para P la siguiente expresi¨®n: .

Transformaci¨®n de forma bin¨®mica a trigonom¨¦trica

Sea el punto   cuya representaci¨®n en forma bin¨®mica es y en forma trigonom¨¦trica . Adem¨¢s se conoce que:

Sustituyendo las expresiones (2), (3) y (4)en (1) se obtiene para la siguiente expresi¨®n:  

Ra¨ªces de n¨²meros complejos 

La determinaci¨®n de las ra¨ªces de un n¨²mero complejo se realiza utilizando la forma trigonom¨¦trica. Sea el n¨²mero complejo . Entonces  la ra¨ªz n de viene dada por:

donde k toma los valores 0,1,2,...,n-1.  

Por ejemplo, la ra¨ªz c¨²bica de un n¨²mero complejo tiene tres ra¨ªces complejas que vienen dadas por: