Métodos para la evaluación de proyectos - Anexo E. Determinación de las raíces de polinomios

Solución de la Ecuación General de Segundo Grado 

La ecuación general de segundo grado está dada por la expresión , donde los términos a, b, y c son números reales. Debe señalarse que la magnitud , ya que en ese caso, la ecuación de segundo grado se reduce a la forma , de donde el valor de x viene dado por –c/b.  

Si se dividen ambos miembros de la ecuación entre a y se suma y resta en el miembro izquierdo de la ecuación el término b²/(2a)² se puede operar como sigue:  

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación se obtiene:

Despejando finalmente x en la ecuación anterior se obtiene que la solución general de la ecuación de segundo grado tiene dos raíces (soluciones) que están dadas por la siguiente expresión:

Nótese que el valor de la magnitud , denominada determinante, conduce a tres alternativas para las raíces, excluyentes entre sí:  

a) . En este caso los dos valores de x (raíces) que satisfacen la ecuación general de segundo grado son reales y diferentes entre sí y se corresponden con los obtenidos de las siguientes expresiones:

b) . Cuando se cumple esta condición, las dos raíces de la ecuación analizada son reales e iguales  y su magnitud puede determinarse mediante la expresión .  

c) . En este caso la solución de la ecuación general de segundo grado son dos raíces complejas conjugadas y su valor viene dado por:

Solución de la Ecuación General de Tercer Grado 

La ecuación general de tercer grado dada por la expresión . Si se divide la ecuación anterior por la magnitud a se obtiene , donde los parámetros de la ecuación transformada tienen el siguiente significado:  r= b/a; s= c/a y t=d/a.  

Si se efectúa la transformación  x = y – r/3 en la ecuación anterior se obtiene la siguiente ecuación equivalente trasformada .  

Desarrollando de manera independiente cada uno de los términos que constituyen la expresión anterior se obtiene los resultados siguientes:

Sustituyendo los resultados de las tres expresiones en la expresión transformada se obtiene la siguiente ecuación: , que de forma compacta puede representarse mediante  conocida como ecuación reducida, donde los términos p y q tiene el significado siguiente:

p = s – r²/3.

q = t – 2r³/27 + rs/3.

En términos de los coeficientes a, b, c y d de la ecuación original, las expresiones anteriores se corresponden con:

p = c/a – b²/(3a²)

q = d/a – 2b³/(27a³) + bc/(3a²)

Utilizando las fórmulas de Vieta y realizando operaciones de transformación algebraicas [6] se obtiene que las raíces del polinomio tercer grado vienen dadas por las siguientes expresiones  ;  y ; donde:

.

Si se define  D = (q²/4 + p³/27), se tiene entonces que:

-        Si D < 0 Þ una raíz real y= a + b.

-        Si D = 0 Þ tres raíces reales, de ellas dos iguales:  y₁= 2a ; y₂= y₃=-a

-        Si D > 0 Þ las tres raíces son reales y diferentes entre sí. En este caso es necesario extraer la raíz cuadrada de un Número Complejo, pues la magnitud bajo el radical cuadrático que forma parte de la determinación de a y de b es menor que cero. En este caso

donde k toma los valores 0,1,2,...,n-1.