Determinación de la tasa de descuento (Capital Asset Pricing Model, CAPM)
Uno de los problemas m¨¢s importantes de las finanzas consiste en poder determinar el precio que tiene el riesgo y as¨ª poder utilizar una medida apropiada del riesgo, ya sea de un proyecto de inversi¨®n, del riesgo de una empresa o de cualquier activo financiero.
Premisa: el rendimiento de cualquier activo financiero riesgoso en equilibrio es una funci¨®n de su covarianza con el riesgo del rendimiento del portafolio de mercado.
El CAPM es un modelo matem¨¢tico que considera los siguientes supuestos acerca de los inversionistas y del conjunto de oportunidades de inversi¨®n que existen:
- Los inversionistas son individuos aversos al riesgo, que siempre maximizan la utilidad que esperan obtener al final de un periodo de tiempo.
- Los inversionistas son precio aceptantes (no pueden influir en el proceso de formaci¨®n del precio) y tienen expectativas homog¨¦neas acerca de los rendimientos de los activos financieros, que tiene una distribuci¨®n normal.
- Existe un activo libre de riesgo (instrumento del gobierno), tal que los inversionistas pueden prestar o pedir prestado en cantidades limitadas a la tasa de riesgo rf.
- Los activos financieros existen en cantidad limitada, son burs¨¢tiles (siempre hay compradores y vendedores) y son perfectamente divisibles.
- No hay fricciones en el mercadeo de activos financieros (la tasa de inter¨¦s para prestar y pedir prestado es la misma), la informaci¨®n no tiene costo y est¨¢ disponible para todos los inversionistas de manera simult¨¢nea.
- No hay imperfecciones del mercado como son los impuestos, regulaciones o restricciones a las ventas.
La Caracterizaci¨®n del portafolio de mercado en t¨¦rminos de rendimiento esperado de la inversi¨®n se corresponde con el mostrado en la figura 1, donde:
E(rp): rendimiento esperado de un portafolio.
E(rm): rendimiento del portafolio de mercado.
¦Ò(rp): desviaci¨®n est¨¢ndar de un portafolio
¦Ò(rm): desviaci¨®n est¨¢ndar del portafolio del mercado
II¡¯: activo riesgoso
Bajo estas condiciones, la L¨ªnea del Mercado de Capitales E(rp) viene dada por la siguiente expresi¨®n:
Sea un portafolio de mercado estructurado en:
- activo riesgoso I: a% invertido, con tasa de rendimiento ri
- portafolio de mercado M: (1-a%) invertido, con tasa de rendimiento rm.
Bajo esta condiciones, la tasa de rendimiento del portafolio combinado, compuesto por el activo con riesgo y portafolio de mercado, rp, viene dada por: 
y la esperanza matem¨¢tica de rp viene dada por:
La varianza de rp viene dada por:
Sustituyendo las expresiones 4 y 5 en 3 y agrupando convenientemente se obtiene:
N¨®tese lo siguiente:
- 
, representa la varianza de los rendimientos del activo con riesgo, en lo sucesivo, 
.
- 
,representa la varianza del portafolio de mercado libre de riesgo, en lo sucesivo, 
- 
, representa la covarianza de los rendimientos entre el activo con riesgo y el portafolio de mercado, en lo sucesivo, 
Por tanto la varianza y desviaci¨®n t¨ªpica de la rentabilidad del portafolio combinado, rp, viene dada por las siguientes expresiones:
Ahora la variaci¨®n en la esperanza (media) y en la desviaci¨®n est¨¢ndar con respecto al porcentaje del portafolio a, invertido en activos con riesgo se obtiene a partir del c¨¢lculo de la derivada parcial de la expresiones (1) y (6) con respecto al par¨¢metro a, como se indica a continuaci¨®n:
El descubrimiento de Sharpe y Treynor de que en el equilibrio el portafolio de mercado ya tiene el valor I ponderado por su valor wi , por lo cual el porcentaje a de la expresiones 7 y 8 representa el exceso de demanda por un activo con riesgo.
En el equilibrio, el exceso de demanda por el activo con riesgo es igual a cero y os precios se ajustaran hasta que todos los activos pertenezcan a los inversionistas. Por tanto si se eval¨²an las expresiones 7 y 8 para a igual a cero, es posible determinar la relaci¨®n de precios en el equilibrio como se indica a continuaci¨®n:
De las ecuaciones anteriores puede determinarse que la pendiente de la curva descrita por la relaci¨®n existente entre el rendimiento esperado del activo con riesgo y la varianza de esta Mr viene dada por:
Ahora en el punto del equilibrio del mercado (Mr) debe ser igual a la pendiente de la L¨ªnea de Mercado de Capitales (Mc), de donde, igualando las expresiones (1) y (11), se tiene:
Simplificando el t¨¦rmino 
en la expresi¨®n anterior se obtiene la ecuaci¨®n del CAPM:
La ecuaci¨®n anterior indica que la tasa de rendimiento requerida por cualquier activo, tiene dos componentes:
©¤ Tasa libre de riesgo, rf.
©¤ Tasa de riesgo: recoge el rendimiento esperado por el riesgo, obtenida como el producto de la prima por riesgo obtenida de la diferencia 
por la cantidad de riesgo obtenida como 
.
Valor Actual Neto (VAN)
Es un indicador de recuperaci¨®n de valores, ya que compara el valor presente de los beneficios futuros esperados de un proyecto con el valor presente del costo esperado.
El Valor Actual Neto (VAN) es el valor presente de los rendimientos futuros descontados al costo de capital de la empresa, menos el costo de la inversi¨®n y para su determinaci¨®n se utiliza la siguiente expresi¨®n, donde:
C1, C2, ... Cn: Flujos netos de efectivo en cada per¨ªodo.
ri: Tasa de descuento apropiada o costo de capital del proyecto en cada periodo
C0: costo inicial del proyecto (inversi¨®n inicial)
n: Cantidad de per¨ªodos de duraci¨®n del proyecto (vida esperada)
A los efectos del an¨¢lisis del VAN, se aceptan lo proyectos cuyo VAN sea positivo y si es negativo, debe ser rechazado, en tanto si dos o m¨¢s proyectos son mutuamente excluyentes, deber¨¢ elegirse el que tenga el VAN m¨¢s alto mientras mayor sea el valor del VAN m¨¢s atractivo resulta.
Un VAN positivo indica que la inversi¨®n en el proyecto produce excedentes superiores, en la cuant¨ªa del VAN, a los que podr¨ªan obtenerse invirtiendo esa misma cantidad a la tasa de inversi¨®n.
La ventaja fundamental de este m¨¦todo es que considera el valor del dinero en el tiempo y su inconveniente principal es la dificultad de especificar el tipo de descuento o de actualizaci¨®n, ri, el cual debe considerar adem¨¢s del tipo de inter¨¦s, el riesgo que representa el proyecto.
Otro factor que debe considerarse previo a la elecci¨®n de un cartera de proyectos excluyentes es si existen diferencias entre la cantidad de periodos de cada uno, para proceder a homogenizarlos, asumiendo que se repiten en el tiempo hasta el infinito.
Para este prop¨®sito se puede utilizar la siguiente expresi¨®n que se deduce al considerar el VAN del flujo de proyectos repetidos a escala constante en forma infinita.
Esta alternativa, si bien homogeniza los proyectos con duraci¨®n diferente, tiene como inconveniente, que no es real que la tasa de descuento que pueda aplicarse para la duraci¨®n real de los proyectos, se mantenga m¨¢s all¨¢ de este periodo.
