La convolución nos ayuda a determinar el efecto que tiene el sistema en la señal de entrada. Puede ser visto que el sistema lineal de tiempo invariante es completamente caracterizado por su respuesta al impulso. A primera vista, esto puede parecer de pequeño uso, ya que las funciones de impulso no están bien definidas en aplicaciones reales. Sin embargo la propiedad de desplazamiento del impulso nos dice que una señal puede ser descompuesta en una suma infinita (integral) de impulsos escalados y desplazados. Conociendo como un sistema afecta un impulso simple, y entendiendo la manera en que una señal es abarcada por impulsos escaldos y sumados, suena razonable que sea posible escalar y sumar la respuesta al impulso a un sistema en para poder determinar que señal de salida resultara de una entrada en particular. Esto es precisamente lo que la convolución hace - la convolución determina la salida del sistema por medio conocimiento de la entrada y la respuesta al impulso del sistema.
En el resto de este modulo, vamos a examinar exactamente como la convolución es definida a partir del razonamiento anterior. Esto resultara en la integral de convolución (véase la siguiente sección) y sus propiedades. Estos conceptos son muy importantes en la Ingeniería Eléctrica y harán la vida de los ingenieros mas sencilla si se invierte el tiempo en entender que es lo que esta pasando.
Para poder entender completamente la convolución, será de utilidad también ver la convolución de tiempo discreto ). También será de gran ayuda experimentar con los applets disponibles en internet. Este recurso nos ofrecerá una aproximación mas crucial del concepto.
Integral de Convolución
Como mencionamos anteriormente, la integral de convolución nos da una manera matemática fácil de expresar la salida de un sistema LTI basado en una señal arbitraria, x(t)
,y la respuesta al impulso, h(t)
. La integral de convolución es expresada como
y(t)
=∫−∞∞x(τ)
h(t−τ)
dτ (1)
La convolución es una herramienta muy importante que es representada por el símbolo *, y puede ser escrita como
y(t)
=x(t)
*h(t)
(2)
Haciendo unos cambios simples en las variables de la integral de convolución, τ=t−τ, podemos ver que la convolución es conmutativa:
x(t)
*h(t)
=h(t)
*x(t)
(3)
Para más información de las características de la integral de convolución, léase sobre la Propiedades de la Convolución .
Ahora presentaremos dos aproximaciones distintas que se derivan de la integral de convolución. Estos procesos, junto con un ejemplo básico, nos ayudaran para construir una intuición sobre la convolución.
Proceso I: El método corto
Este proceso sigue de cerca el mencionado en la sección anterior en la Motivación. Para iniciar esto, es necesario establecer las asunciones que haremos. En este momento, la única obligada en nuestro sistema es que este sea lineal e invariante en el tiempo.
Breve descripción de los pasos de este Proceso:
- Un impulso de entrada, nos da como salida una respuesta al impulso.
- Un impulso desplazado nos da como salida una respuesta al impulso desplazada. Esto es debido a la invariante en el tiempo del sistema
- Podemos escalar el impulso de entrada para obtener como salida un impulso escaldo. Esto es usando la propiedad de linealidad de la multiplicación escalar.
- Podemos sumar un número infinito de estos impulsos escalados para obtener un número infinito de sumas de respuestas al impulso escaladas. Esto es usando la cualidad de la aditividad de linealidad.
- Ahora vemos que esta suma infinita no es mas que una integral, así que podemos convertir ambos lados en integrales.
- Reconociendo que la entrada es la función f(t)
, también reconocemos que la salida es exactamente la integral de convolución .
Proceso II: El método largo
Este método realmente no es muy diferente del anterior, sin embargo es un poco mas riguroso y mas largo. Esperanzadamente si no se comprendió bien el método de arriba, esto te ayudara para terminar de entender la convolución.
El primer paso en este método es definir una realización particular de la función de impulso unitario. Para esto usaremos δΔ(t)
=
|
if−(
)
<t<
|
| 0otherwise |
Después de definir la realización de la unidad de respuesta al impulso, podemos obtener nuestra integral de convolución de los siguientes pasos que se encuentran en la siguiente tabla. Notemos que la columna de la izquierda representa la entrada y la columna de la derecha es la salida del sistema dada esa entrada.
Proceso II de la Integral de Convolución
| Entrada |
|
Salida |
| lim<ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t)
|
→ h → |
limh(t)
|
| lim<ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t−nΔ)
|
→ h → |
limh(t−nΔ)
|
| limf(nΔ)
<ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t−nΔ)
Δ |
→ h → |
limf(nΔ)
h(t−nΔ)
Δ |
| lim∑(f(nΔ)
<ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t−nΔ)
Δ)
|
→ h → |
lim∑(f(nΔ)
h(t−nΔ)
Δ)
|
| ∫−∞∞f(τ)
δ(t−τ)
dτ |
→ h → |
∫−∞∞f(τ)
h(t−τ)
dτ |
| f(t)
|
→ h → |
y(t)
=∫−∞∞f(τ)
h(t−τ)
dτ |
