Análisis de Sistemas de Tiempo Continuo en el Dominio del Tiempo - Implementación de la Convolución

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Tutorial de Michael Haag, Fara Meza, Erika Jackson - 16 de Diciembre de 2006

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3. Implementación de la Convolución

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Tomando una visión mas cercana de la integral de convolución, encontramos que estamos multiplicando la señal de entrada por una respuesta al impulso invertida en tiempo e integrándola. Esto nos dará el valor de la salida de un valor dado de t. Si después nosotros cambiamos la respuesta al impulso invertida en tiempo por una pequeña cantidad, obtenemos la salida para otro valor de t. Repitiendo esto para cada posible valor de t, nos da la función total de salida. Nosotros nunca haremos este método a mano, nos proporciona información con algunas entradas de que es lo que esta pasando. Encontramos que esencialmente estamos revirtiendo la función de la respuesta al impulso y desplazándola a través de la función de entrada, integrándola como vamos. Este método, descrito como el metodo gráfico, nos proporciona una manera sencilla de resolver las salidas para señales sencillas, mientras tanto mejoraremos nuestra intuición para los casos mas complejos donde confiaremos en las computadoras. De hecho las Texas Instruments se convierten en Procesamiento Digital de Señales las cuales tienen un conjunto especial para cómputos así como para la convolución.

Example 1

Esta demostración ilustrara el método gráfico para la convolución. Véase aquí para las instrucciones de cómo se usa este demo.

LabVIEW Example: (run) (source)

Ejemplos Básicos

Veamos ejemplos de la convolución básica de tiempo-continuo para poder expresar algunas ideas mencionadas anteriormente en el ejemplo corto. Vamos a convolver dos pulsos unitarios, x(t) y h(t) .



Subfigure 6.1	Subfigure 6.2

Figure 6: Aqui hay dos señales básicas que usaremos para convolucionar juntas.

Reflejada y Desplazada

Ahora tomaremos una de las funciones y la reflejaremos a través del eje de las y. Después debemos desplazar la función, así como el origen, el punto de la función que originalmente estaba en el origen, esta marcada como el punto τ. Este paso se muestra en la siguiente figura, h(t−τ) . Como la convolución es conmutativa no importa que función es reflejada y desplazada, sin embargo conforme las funciones se vuelven mas complicadas reflejar y desplazar la “correcta” nos hará el problema mas sencillo.

Figure 7: El pulso unitario reflejado y desplazado.

Regiones de Integración

Ahora veremos la función y dividiremos su dominio en dos límites diferentes de integración. Estas dos regiones diferentes pueden ser entendidas pensando en como nos desplazamos h(t−τ) sobre la otra función. Si la función fuera mas complicada necesitaremos tener mas limites para que las partes sobrepuestas de las dos funciones puedan ser expresadas en una integral lineal sencilla. Para este problema tendremos las siguientes cuatro regiones. Compárense estos limites de integración con los de los bosquejos de h(t−τ) y x(t) para ver si se puede entender el por que tenemos cuatro regiones. Nótese que t en los limites de integración se refiere al lado derecho de la función h(t−τ) , marcada como t entre cero y uno en la gráfica.

Los cuatro limites de integración

t<0
0≤t<1
1≤t<2
t≥2

Usando la Integral de Convolución

Finalmente estamos listos para unas pequeñas matemáticas. Usando la integral de convolución, integremos el producto de x(t) h(t−τ) . Para la primer y cuarta región es trivial pues siempre será, 0. La segunda región, 0≤t<1, requiere las siguientes matemáticas:

y(t)	=	∫₀^t<apply>1</apply>dτ
	=	t

(4)

La tercer región, 1≤t<2, Tomemos nota de los cambios en nuestra integración. Conforme movemos h(t−τ) a través de la otra función, la parte izquierda de la función, t−1, se convierte es nuestro limite inferior para la integral. Esto se muestra a través de la integral de convolución como

y(t)	=	∫_t−1¹<apply>1</apply>dτ
	=	1−(t−1)
	=	2−t

(5)

Las formulas anteriores muestran el método para calcular la convolución; sin embargo no deje que la simplicidad de este ejemplo lo confunda cuando trabaje con otros problemas. El método será el mismo, solo se tendrá que tratar con mas matemáticas en integrales mas complicadas.

Resultados de la Convolución

Así, obtenemos los siguientes resultados para nuestras cuatro regiones:

y(t) =<apply>

ì
ï
í
ï
î

0ift<0

tif0≤t<1

2−tif1≤t<2

0ift≥2

</apply> (6)

Ahora que encontramos el resultado para cada una de las cuatro regiones, podemos combinarlas y graficar la convolución de x(t) *h(t) .

Figure 8: Muestra la respuesta al impulso de la entrada, x(t) .

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Tabla de contenidos

4 - Propiedades de la Convolución
5 - Estabilidad BIBO

Autor y licencia de 'Análisis de Sistemas de Tiempo Continuo en el Dominio del Tiempo - Implementación de la Convolución'

Michael Haag, Fara Meza, Erika Jackson Extraído de: http://cnx.org/content/m12985/latest/

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