1. 1 Sistemas Lineales CT y Ecuaciones Diferenciales
2. 2 Convolución de Tiempo-Continuo
3. 3 Implementación de la Convolución
4. 4 Propiedades de la Convolución
5. 5 Estabilidad BIBO

4 - Propiedades de la Convolución

Tutorial creado por Michael Haag, Fara Meza, Erika Jackson. Extraido de: http://cnx.org/content/m12985/latest/

16 de Diciembre de 2006

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En este modulo veremos varias de las propiedades de convolución que mas prevalecen. Nótese que estas propiedades se aplican a ambas convoluciones de tiempo continuo y de tiempo discreto . (Véase los dos módulos anteriores si necesita un repaso de convolución). También para algunas demostraciones de las propiedades, usaremos las integrales de tiempo-continuo, pero podemos probarlas de la misma manera usando las sumatorias de tiempo-discreto.

Asociatividad

theorem 1: Ley Asociativa 

f₁(t) *(f₂(t) *f₃(t) ) =(f₁(t) *f₂(t) ) *f₃(t) (1)

Figure 1: Implicación gráfica de la propiedad de asociatividad de la convolución.

Conmutatividad

theorem 2: : Ley Conmutativa 

y(t)	=	f(t) *h(t)
	=	h(t) *f(t)

(2)

Proof

Para probar la equation 2, lo único que tenemos que hacer es un pequeño cambio de variable en nuestra integral de convolución (o suma),

y(t) =∫_−∞^∞f(τ) h(t−τ) dτ (3)

Dejando τ=t−τ, podemos mostrar fácilmente que la convolución es conmutativa:

y(t)	=	∫−∞∞f(t−τ) h(τ) dτ
	=	∫−∞∞h(τ) f(t−τ) dτ

(4)

f(t) *h(t) =h(t) *f(t) (5)

Figure 2: La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.

Distribución

theorem 3: Ley Distributiva 

f₁(t) *(f₂(t) +f₃(t) ) =f₁(t) *f₂(t) +f₁(t) *f₃(t) (6)

Proof

La demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.

Figure 3

Desplazamiento en el Tiempo

theorem 4: Propiedad de Desplazamiento 

Para c(t) =f(t) *h(t) , entonces

c(t−T) =f(t−T) *h(t) (7)

y

c(t−T) =f(t) *h(t−T) (8)

Subfigure 4.1 Subfigure 4.2 Subfigure 4.3 Figure 4: Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento.

Convolución con un Impulso

theorem 5: Convolución con Impulso Unitario 

f(t) *δ(t) =f(t) (9)

Proof

Para este demostración, dejaremos que δ(t) sea el impulso unitario localizado en el origen. Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución

f(t) *δ(t) =∫_−∞^∞δ(τ) f(t−τ) dτ (10)

De la definición del impulso unitario, conocemos que δ(τ) =0 siempre que τ≠0. Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente:

f(t) *δ(t)	=	∫−∞∞δ(τ) f(t) dτ
	=	f(t) ∫−∞∞(δ(τ) ) dτ

(11)

La integral de δ(τ) solo tendrá un valor cuando τ=0 (de la definición del impulso unitario), por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema:

f(t) *δ(t) =f(t) (12)

Subfigure 5.1 Subfigure 5.2 Figure 5: Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan la función identidad del impulso unitario.

Ancho

En tiempo continuo, si la Duración(f₁) =T₁ y la Duración (f₂) =T₂ , entonces

Duración(f₁*f₂) =T₁+T₂ (13)

Subfigure 6.1 Subfigure 6.2 Subfigure 6.3 Figure 6: En tiempo continuo, la duración de la convolución resulta igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos señales convolucionadas.

En tiempo discreto si la Duración (f₁) =N₁ y la Duración (f₂) =N₂ , entonces

Duración(f₁*f₂) =N₁+N₂−1 (14)

Causalidad

Si f y h son ambas causales, entonces f*h también es causal.

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Autor y licencia de 'Análisis de Sistemas de Tiempo Continuo en el Dominio del Tiempo'

Tutorial de Michael Haag, Fara Meza, Erika Jackson. Extraido de: http://cnx.org/content/m12985/latest/