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Análisis de Sistemas de Tiempo Continuo en el Dominio del Tiempo - Propiedades de la Convolución

 ***** (2 opiniones)
Creative Commons Tutorial de Michael Haag, Fara Meza, Erika Jackson - 16 de Diciembre de 2006
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4. Propiedades de la Convolución
En este modulo veremos varias de las propiedades de convolución que mas prevalecen. Nótese que estas propiedades se aplican a ambas convoluciones de tiempo continuo y de tiempo discreto . (Véase los dos módulos anteriores si necesita un repaso de convolución). También para algunas demostraciones de las propiedades, usaremos las integrales de tiempo-continuo, pero podemos probarlas de la misma manera usando las sumatorias de tiempo-discreto.

Asociatividad

theorem 1: Ley Asociativa 
f1(t) *(f2(t) *f3(t) ) =(f1(t) *f2(t) ) *f3(t) (1)
Figure 1: Implicación gráfica de la propiedad de asociatividad de la convolución.

Conmutatividad

theorem 2: : Ley Conmutativa 
y(t) = f(t) *h(t)
= h(t) *f(t)
(2)
Proof
Para probar la equation 2, lo único que tenemos que hacer es un pequeño cambio de variable en nuestra integral de convolución (o suma),
y(t) =∫−∞∞f(τ) h(t−τ) dτ (3)
Dejando τ=t−τ, podemos mostrar fácilmente que la convolución es conmutativa:
y(t) = ∫−∞∞f(t−τ) h(τ) dτ
= ∫−∞∞h(τ) f(t−τ) dτ
(4)
f(t) *h(t) =h(t) *f(t) (5)
Figure 2: La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.

Distribución

theorem 3: Ley Distributiva 
f1(t) *(f2(t) +f3(t) ) =f1(t) *f2(t) +f1(t) *f3(t) (6)
Proof
La demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.
Figure 3

Desplazamiento en el Tiempo

theorem 4: Propiedad de Desplazamiento 
Para c(t) =f(t) *h(t) , entonces
c(t−T) =f(t−T) *h(t) (7)
y
c(t−T) =f(t) *h(t−T) (8)
Subfigure 4.1
Subfigure 4.2
Subfigure 4.3
Figure 4: Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento.

Convolución con un Impulso

theorem 5: Convolución con Impulso Unitario 
f(t) *δ(t) =f(t) (9)
Proof
Para este demostración, dejaremos que δ(t) sea el impulso unitario localizado en el origen. Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución
f(t) *δ(t) =∫−∞∞δ(τ) f(t−τ) dτ (10)
De la definición del impulso unitario, conocemos que δ(τ) =0 siempre que τ≠0. Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente:
f(t) *δ(t) = ∫−∞∞δ(τ) f(t) dτ
= f(t) ∫−∞∞(δ(τ) ) dτ
(11)
La integral de δ(τ) solo tendrá un valor cuando τ=0 (de la definición del impulso unitario), por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema:
f(t) *δ(t) =f(t) (12)
Subfigure 5.1
Subfigure 5.2
Figure 5: Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan la función identidad del impulso unitario.

Ancho

En tiempo continuo, si la Duración(f1) =T1 y la Duración (f2) =T2 , entonces
Duración(f1*f2) =T1+T2 (13)
Subfigure 6.1
Subfigure 6.2
Subfigure 6.3
Figure 6: En tiempo continuo, la duración de la convolución resulta igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos señales convolucionadas.
En tiempo discreto si la Duración (f1) =N1 y la Duración (f2) =N2 , entonces
Duración(f1*f2) =N1+N2−1 (14)

Causalidad

Si f y h son ambas causales, entonces f*h también es causal.
Tabla de contenidos
Autor y licencia de 'Análisis de Sistemas de Tiempo Continuo en el Dominio del Tiempo - Propiedades de la Convolución'
Michael Haag, Fara Meza, Erika Jackson Extraído de: http://cnx.org/content/m12985/latest/

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