Introducción informal a Matlab y Octave - Calculo y Analisis (II)

5.5.3.1  Integración del problema no stiff (vdp1)

• Octave

>> lsode_options('integration method','non-stiff')
 >> y=lsode('vdp1',[0 2],linspace(0,20,1000));
  

• Matlab

>> [tout,xout]=ode45(@vdp1,[0 20],[2 0]); 
  

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Figure 5.1: Solución de la ecuación de Van der Pol con ?=1

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5.5.3.2  Integración del problema stiff (vdp1000)

• Octave

>> lsode_options('integration method','non-stiff')
 
 >> y=lsode('vdp1000',[0 2],linspace(0,3000,100000));
  

• Matlab

>> [tout,xout]=ode45(@vdp1000,[0 3000],[2 0]); 
  

• Octave

>> lsode_options('integration method','stiff')
 
 >> ystiff=lsode('vdp1000',[2 0],linspace(0,20,1000));
  

• Matlab

>> [tout,xout]=ode23s(@vdp1000,[0 3000],[2 0]);
  

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Figure 5.2: Solución de la ecuación de Van der Pol con ?=1000

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5.5.4  Inestabilidades y caos.

function xdot=rikitake(x,t)
 %
 %   Ecuacion de la dinamo de Rikitake
 %
 xdot(1,1)=-x(1)+x(3)*x(2);
 xdot(2,1)=-x(2)+x(1)*(x(3)-3.75);
 xdot(3,1)=1-x(1)*x(2);
  

>> [t,x]=ode45(@rikitake,[0 300],[1 2 3],pair=0,ode_fcn_format=1);
 plot(t,x(:,1),';x_1;',t,x(:,2),';x_2;',t,x(:,3),';x_3;')
  

---

Figure 5.3: Solución del dipolo de Rikitake

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>> plot3 (x(:,1),x(:,2),x(:,3))
  

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Figure 5.4: Curva solución del dipolo de Rikitake

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5.6  Cálculo simbólico

1. Tenemos acceso al núcleo de cálculo de Maple, pero dicho acceso no es completo. Podemos efectuar las operaciones básicas como derivar, buscar primitivas, crear desarrollos de Taylor... Nunca dispondremos de la potencia de este tipo de programas.
2. La arquitectura de matlab no está pensada para el cálculo simbólico. Los programas de cálculo simbólico suelen incluir un interfaz llamado notebook que sirve para ver las fórmulas de entrada y salida en una notación mucho más matemática. Las diferencias en el diseño de un programa de cálculo numérico y otro de cálculo simbólico son a mi parecer irreconciliables.

5.6.1  Definición de variables funciones simbólicas

>> symbols
  

sym

Define una variable que contiene un argumento simbólico. Es muy recomendable que la variable y el argumento tengan el mismo nombre para evitar confusiones

>> x = sym('x')
  

poly2sym

Define un polinomio simbólico a partir de sus coeficientes.

>> poly2sym([1 2 3 -2 10])
 ans =
 10.0+(-2.0+x*(3.0+(2.0+x)*x))*x
  

5.6.2  Funciones simbólicas elementales.

>> x=sym('x')
 x =
 x
 >> y=sin(x)
 y =
 sin(x)
  

>> x=sym('x')
 x =
 x
 >> y=Sin(x)
 y =
 sin(x)
  

5.6.3  Operaciones simbólicas

subs

Substituye una o varias variables de una expresión simbólica.

collect

Agrupa los términos polinómicos en una variable dada.

expand

Desarrolla una expresión simbólica.

differentiate

Sólo en Octave. Calcula la n-ésima derivada de una expresión simbólica.

diff

Sólo en Matlab. Calcula la n-ésima derivada de una expresión simbólica.

int

Encuentra la primitiva de una función simbólica

limit

Calcula el límite hacia un determinado valor de una función simbólica.

taylor

Calcula el desarrollo en serie de Taylor respecto a un punto dado de una función simbólica.

symsum

Calcula la suma de dos series.

splot

Dibuja la curva representación de una función simbólica de una variable. El segundo argumento es un vector de dos elementos con el intervalo de la variable independiente.

1

Personalmente creo que éste es uno de los pocos casos en el que Octave es superior a Matlab. Ni entiendo ni comparto la organización de las rutinas de integración de Matlab, me parece confusa, desacertada y poco óptima.

2

Esta sección es sólo una pequeña introducción a los efectos del caos. No soy un absoluto un experto en el tema pero se comenta en esta sección porque puede tener efectos desconcertantes en la solución. Pido disculpas si existe algun fallo garrafal en alguna de las afirmaciones.

3

¿Por qué hemos tenido que utilizar el argumento adicional ode_fcn_format?

4

El estudio de existencia y unicidad de la solución de las ecuaciones de Navier Stokes para el caso incompresible es uno de los grandes problemas no resueltos de las matemáticas.

5

Siempre viene bien recordar que la arquitectura de Matlab distingue entre mayúsculas y minúsculas