Introducción informal a Matlab y Octave - Ejercicios propuestos

9.1  Matrices

1. Dado el vector x=[3,1,5,7,9,2,6], intentar prever a mano el resultado de las siguientes operaciones elementales.
   1. x(3)
   2. x(1:7)
   3. x(1:end)
   4. x(1:end-1)
   5. x(6:-2:1)
   6. x([1,6,2,1,1])
   7. sum(x)
2. Dada la matriz A=[2,4,1;6,2,7;3,5,9], calcular:
   1. El vector x1 que es la primera fila de A.
   2. Asignar las 2 primeras filas de A a un vector llamado y.
   3. Calcular la suma de los elementos de las columnas de A.
   4. Calcular la suma de los elementos de las filas de A.
   5. Calcular la desviación estándar de cada columna de A.
3. Dada la matriz:

   A=

   漂R> 缂R> 缂R> 缂R> 輯FONT>

   2 7 9 7 3 1 5 6 8 1 2 5 4 2 8 7

   ?> ?> ?> ?> ?NT>

   1. Asignar los elementos impares de la matriz A a otra matriz
   2. Asignar los elementos pares de la matriz A a otra matriz
   3. Calular la raíz cuadrada de cada elemento de la matriz A

9.2  Programación

1. Dado el vector x=[3 15 9 2 -1 0 -12 9 6 1] escribir los comandos que darán los siguientes resultados, preferiblemente en un único comando:
   1. Devolver un vector que convierta los elementos de x en 0
   2. Convertir los elementos múltiples de 3 del vector en 3.
   3. Multiplicar los valores impares de x por cinco.
   4. Asignar los valores de módulo mayor a 10 a otro vector.
   5. Convertir los elementos que son menores a la media en cero
   6. Convertir los elementos que son mayores a la media en la media.
2. Escribir una función cuyo resultado sea:

   y(x)

   켂R> �R> FONT>

   2      x<6 x-4      6≤ x≤20 36-x      20≤ x≤36

   representarla gráficamente para ver que tiene forma triangular con fplot.
3. Calcular el número π mediante la seguiente serie:

   π2-8 16

   =

   ∞ ∑ n=1

   1 (2n-1)2(2n+1)2

   ¿Cuántos términos son necesarios para llegar a una precisión de 1ױ0¹²? ¿Cuánta es la precisión de la suma de 100 términos?
4. Podemos calcular una serie de Fibonacci mediante la siguiente relación recursiva:
   F_n=F_n-1+F_n-2
   con F₀=F₁=1. Calcular los 10 primeros números de la serie de Fibonacci. La relación F_n/F_n-1 se va aproximando al número áureo ϕ=1+5/2 a medida que n aumenta. ¿En qué término de la serie de Fibonacci nos acercamos al número áureo con una precisión de 1ױ0¹²?
5. Los polinomios de Legendre P_n(x) se definen con la siguiente relación recurrente:
   (n+1)P_n+1(x)-(2n+1)P_n(x)+nP_n-1(x)=0
   con P₀(x)=1, P₁(x)=x y P₂(x)=3x²-1/2. Cacular los tres siguientes polinomios y representarlos gráficamente en el intervalo [-1,1]
6. Se plantea el siguiente algoritmo para calcular el número π. Primero iniciar las constantes: a=1, b=1/2, t=1/4 y x=1. Repetir la siguiente secuencia de comandos hasta que llegamos a la precisión deseada:
   y = a 
   a = (a+b)/2 
   b = sqrt(b*y) 
   t = t-x*(y-a)2 
   x = 2*x
   Por último se toman los valores de a, b, y t para estimar π con:
   pi_est = ((a+b)2)/(4*t) 
   ¿Cuántas iteraciones son necesarias para llegar a una precisión de 1ױ0¹²?
7. Escribir un programa que pida por línea de comandos un entero (n) y luego calcule lo siguiente.
   1. Mientras el valor de n sea mayor que 1, cambiar el entero por la mitad de su valor si el entero es par; si es impar cambiarlo por tres veces su valor mas 1.
   2. Repetir estas operaciones cíclicamente y obtener el número de iteraciones hasta que el algoritmo se para en 1. Por ejemplo, para n=10 la secuencia es 5, 16, 8, 4, 2 y 1; entonces el número de iteraciones han sido 6.
   3. Representar la longitud de las secuencias en función del entero de entrada de 2 a 30 e intentar descubrir un patrón. Si no se deduce intentarlo con más números.
   4. ¿Hay algún número para el que la secuencia sea interminable?
8. Escribir un programa que convierta números romanos en decimales. La tabla de conversion es:
   
   
   
   
9. Escribir un programa que haga la función inversa, que pase de números decimales a romanos. En ambos casos el número se pedirá por pantalla.

9.3  Álgebra lineal

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

   x	-	2y	+	3z	=	9
   -x	+	3y			=	4
   2x	-	5y	+	5z	=	17

   
   
   
2. Sean B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} y B^′={(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1)} bases en R³, y sea

   A=

   鼂R> 꼂R> 꼂R> 뼯FONT>

   1 3 0 3 1 0 0 0 -2

   ? ? ? ?NT>

   la matriz de la aplicación lineal T:R³→R³ en la base B, base cartesiana ortogonal se pide:
   1. La matriz de cambio de base P de B^′ a B
   2. La matriz de camnio de base P^-1de B a B^′
   3. La matriz A^′ que es la matriz A expresada en la base B^′.
   4. Sea

      [v]B′=

      鼂R> 꼂R> 꼂R> 뼯FONT>

      1 2 3

      ? ? ? ?NT>

      encontrar [v]_B y [T(v)]_B
   5. Encontrar [T(v)]_B^′ de dos maneras, primero como P^-1[T(v)]_B y luego como A^′[v]_B^′.
3. Crear la matriz de 5׵ T tal que:
   T_kl=k-l
   y calcular sus autovalores y autovectores
4. Un proceso para encriptar un mensaje secreto es usar cierta matriz cuadrada con elementos enteros y cuya inversa es también entera. Se asigna un número a cada letra (A=1, B=2... espacio=28) y se procede como sigue a continuación. Supongamos que la matriz es:

   A=

   漂R> 缂R> 缂R> 缂R> 缂R> 輯FONT>

   1 2 -3 4 5 -2 -5 8 -8 9 1 2 -2 7 9 1 1 0 6 12 2 4 -6 8 11

   ?> ?> ?> ?> ?> ?NT>

   y el mensaje que queremos enviar es ``ALGEBRA LINEAL''. Para codificar el mensaje romperemos la cadena de números en vectores de cinco elementos y los codificaremos.
   1. ¿Cuál será la cadena de datos encriptada que enviaremos?
   2. Descifrar el mensaje: 48 64 -40 300 472 61 96 -90 346 538 16 -5 71 182 332 68 131 -176 322 411 66 125 -170 301 417.

9.4  Cálculo y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

1. Hallar el área A de la región del plano comprendida entre la curva

   y=

   x2-1 x2+1

   y su asíntota. (2π)
2. Hallar la longitud s del arco de cicloide

   켂R> �R> FONT>

   x = a(t-sint) y = a(t-cost)

   0≤ t≤2π

   (8a)
3. Hallar el centro de masas de la cardioide
   ρ=a(1+cosθ)
   (Sobre el eje de simetría y en x=4a/5)
4. El péndulo esférico tiene de ecuaciones:

   θ=	lϕsinθcosθ-gsinθ l

   ϕ=	-2ϕθcosθ sinθ

   Integrarlas con una condición inicial cualquiera y representar gráficamente las trayectorias.
5. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente:

   dx dt	=	ax+bxy-cx2
   dy dt	=	dxy-ey

   donde a=0.05, b=0.0002, c=0.00001, d=0.0003 y e=0.06. Crear el mapa de fases linealizando la ecuación y utilizando el comando quiver. Resolverlo para t∈[0,300] con distintos valores iniciales y ver que las soluciones siguen el camino marcado por el gradiente numérico.
6. Resolver el siguiente sistema que representa un modelo depredador-presa:

   x1′	=	x1(15-x2)
   x2′	=	x2(-15+x1-x2)

   con condición inicial x₁(0)=10 y x₂(0)=15. Si los depredadores vienen dados por x₁, las presas por x₂ y el tiempo está medido en meses, ¿cuántos predadores y presas hay al cabo de un año? ¿Se extingue alguna de las especies en algún momento? Representar x₁-x₂ y x₁ en función de x₂.

9.5  Estadística y análisis de datos

1. Generar una muestra de 1000 elementos que sigan una distribución normal de media 10 y desviación típica 9.
2. Generar una muestra de 1000 elementos que sigan una distribución uniforme de media cero y desviación típica 10.
3. Calcular y representar los caminos de un grupo de partículas con movimiento aleatorio confinadas por un par de barreras B⁺ y B^- unidades del orígen que es desde donde salen las partículas. Un movimiento aleatorio se calcula mediante la fórmula;
   x_j+1=x_j+s
   donde s es el número obtenido de una distribución normal estandarizada de números aleatorios según la función randn. Por ejemplo, N movimientos de la partícula se calcularían con el fragmento de código siguiente:
   x(1)=0; 
   for j = 1:N 
   x(j+1) = x(j) + randn(1,1); 
   end 
   Se cambiarán las condiciones de contorno de la siguiente manera:
   1. Reflexión. Cuando una partícula se encuentre fuera de la frontera se devolverá al interior del dominio como si hubiera rebotado en una pared
   2. Absorción. La partícula muere cuando entra en contacto con la pared.
   3. Absorción parcial. Es la combinación de los dos casos previos. La partícula rebota en la pared y la perfección de la colisión depende de una determinada distribución de probabilidad.
   Calcular una serie relevante de trayectorias y calcular:
   1. La posición media de las partículas en función del tiempo.
   2. La desviación típica de las posiciones de las partículas en función del tiempo.
   3. ¿Influyen las condiciones de contorno en las distribuciones?
   4. Para los casos de absorción y absorción parcial representar gráficamente el número de partículas supervivientes en función del número de saltos temporales.
4. Desarrollar en serie de Fourier la función f(x)=x²    -π<x<π.

9.6  Control automático

1. Determinar la respuesta a un impulso y a un escalón del sistema expresado mediante la función discreta siguiente:
   y(n)=x(n)-2cos(π/8)y(n-1)+y(n-2)