1. 1 Clasificación y Propiedades de los Sistemas
2. 2 Classificación de los Sistemas
3. 3 Propiedades de los Sistemas

3 - Propiedades de los Sistemas

Tutorial creado por Richard Baraniuk. Extraido de: http://cnx.org/content/m12822/latest/

16 de Diciembre de 2006

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Sistemas Lineales

Si un sistema es lineal, quiere decir que cuando la entrada de un sistema dado es escaldado por un valor, la salida del sistema es escalado por la misma cantidad.

Escalado Lineal Subfigure 1.1 Subfigure 1.2 Figure 1

En la subfigure 1.1 de arriba, la entrada x del sistema lineal L da la salida y. Si x es escalada por un valor α y es pasada a través del mismo sistema, como en la subfigure 1.2, la salida también será escalada por α.

Un sistema lineal también obedece el principio de superposición. Esto significa que si dos entradas son sumadas juntas y pasadas a través del sistema lineal, la salida será equivalente a la suma de las dos entradas evaluadas individualmente.

Subfigure 2.1 Subfigure 2.2 Figure 2

Principio de Superposición Figure 3: Si figure 2 es cierto, entonces el principio de superposicción dice que figure 3 también es cierto. Esto es válido para un sistema lineal.

Esto es, si figure 2 es cierta, entonces figure 3 también es cierta para un sistema lineal. La propiedad de escalado mencionada anteriormente también es válida para el principio de superposición. Por lo tanto, si las entradas x y y son escaladas por factores α y β, respectivamente, entonces la suma de estas entradas escaladas dará la suma de las salidas escaladas individualmente.

Subfigure 4.1 Subfigure 4.2 Figure 4

Principio de Superposición con Escaldo Lineal Figure 5: Dado figure 4 para un sistema lineal, figure 5 también es válido.

Time-Invariant Systems

Un sistema invariante en el tiempo TI (Time-Invariant) tiene la propiedad de que cierta entrada siempre dará la misma salida, sin consideración alguna a cuando la entrada fue aplicada al sistema.

Sistema Invariante en el Tiempo Subfigure 6.1 Subfigure 6.2 Figure 6: subfigure 6.1 muestra una entrada en tiempo t mientras que subfigure 6.2 muestra la misma entrada t0 segundos después. En un sitema invariante en el tiempo ambas salidas serán identicas excepto la de la subfigure 6.2 estará retrasada por t0.

En esta figura, x(t) y x(t−t₀) son pasadas a través del sistema TI. Ya que el sistema TI es invariante en el tiempo, las entradas x(t) y x(t−t₀) producen la misma salida. La única diferencia es que la salida debida a x(t−t₀) es cambiada por el tiempo t₀.

Si un sistema es invariante en el tiempo o de tiempo variado puede ser visto en la ecuación diferencial (o ecuación en diferencia) descrita. Los sistemas invariantes en el tiempo son modelados con ecuaciones de coeficientes constantes. Una ecuación diferencial(o en diferencia) de coeficientes constantes significa que los parámetros del sistema no van cambiando a través del tiempo y que la entrada nos dará el mismo resultado ahora, así como después.

3 Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

A los sistemas que son lineales y al mismo tiempo invariantes en el tiempo nos referiremos a ellos como sistemas LTI (Linear Time-Invariant).

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo Subfigure 7.1 Subfigure 7.2 Figure 7: Esto es una combinación de los dos casos de arriba. Dado que la entrada subfigure 7.2 es una versión escalada y desplazada en el tiempo de la entrada de subfigure 7.1, también es la salida.

Como los sistemas LTI son subconjuntos de los sistemas lineales, estos obedecen al principio de superposición. En la figura de abajo, podemos ver el efecto de aplicar el tiempo invariante a la definición de sistema lineal de la sección anterior.

Subfigure 8.1 Subfigure 8.2 Figure 8

Superposición en Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo Figure 9: El principio de superposición aplicadado a un sistema LTI

Sistemas LTI en Series

Si dos o mas sistemas están en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea afectada la salida del sistema. Los sistemas en series también son llamados como sistemas en cascada.

Sistema LTI en Cascada Subfigure 10.1 Subfigure 10.2 Figure 10: El orden de los sistemas LTI en cascada pueden ser intercambiado sin verse afectado el resultado.

Sistemas LTI en Paralelo

Si dos o mas sistemas LTI están en paralelo con otro, un sistema equivalente es aquel que esta definido como la suma de estos sistemas individuales.

Sistemas LTI en Paralelo Subfigure 11.1 Subfigure 11.2 Figure 11: Los sistemas de paralelo pueden ser resumidos en la suma de los sistemas.

Causalidad

Un sistema es causal si este no depende de valores futuros de las entradas para determinar la salida. Lo que significa que si la primer entrada es recibida en tiempo t₀, el sistema no deberá dar ninguna salida hasta ese tiempo. Un ejemplo de un sistema no-causal puede ser aquel que al “detectar” que viene un entrada da la salida antes de que la entrada llegue.

Sistema no-Causal Figure 12: En este sistema no-causal, la salida es producida dado a una entradad que ocurrió después en el tiempo.

Un sistema causal también se caracteriza por una respuesta al impulso h(t) que es cero para t&lt;0.

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Tutorial de Richard Baraniuk. Extraido de: http://cnx.org/content/m12822/latest/